Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Упражнения. Составить дифференциальное уравнение и решить его.

1) На материальную точку масса m действует постоянная сила, сообщая точке ускорение а . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен k. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент  точка находилась в покое?

Ответ: .

2) Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равна р.

Ответ: .

3) Кривая проходит через точку (0; 1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую.

Ответ: .

4) Сила тока в электрической цепи с омическим сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифференциальному уравнению

 ,

где Е– электродвижущая сила. Найти зависимость силы тока  от времени, если Е равно  и .

 Ответ: .

Задача 15. По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его.

1. Определить кривую, проходящую через точку (3,4), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

2. Материальная точка с массой  движется вдоль оси , и на нее в каждый момент времени действует сила, пропорциональная отклонению точки от начала координат и направленная к началу координат. Найти закон движения точки, если в момент  она имела ординату  и скорость .

3. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которая пропорциональна скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5 с станет 8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/с?

4. Доказать, что кривая, угловой коэффициент касательной в любой точке которой пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.

5. Найти кривую, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

6. Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональная проходимому пути и если тело проходит 100 м в 10 с и 200 м в 15 с.

7. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

8. Найти кривую, обладающую тем свойством, что величина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания.

9. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси к радиусу-вектору, равно постоянной величине.

10. Найти кривую, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-нибудь точке кривой, равна расстоянию этой точки от начала координат.

11. Точка массы m движется прямолинейно. На нее действует сила, пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности ). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности ). Найти зависимость скорости от времени, считая, что в начальный момент скорости равна нулю.

12. Найти кривые, обладающие тем свойством, что отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси , равен квадрату абсциссы точки касания.

13. Найти кривую, в которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

14. Дана – цепь с э.д.с. равной а) , б) . Найдите ток  в цепи как функцию времени , если в начальный момент ток в контуре равен нулю.

15. Найти кривую, для которой произведение абсциссы какой-нибудь точки на величину отрезка, отсекаемого нормалью на оси , равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.

16. Найти время, нужное для того, чтобы упасть на Землю с высоты 400000 км (приблизительно расстояние Луны от центры Земли), если эта высоты исчисляется от центра Земли, и радиус равен приблизительно 6400 км.

17. Материальная точки движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии  5 м от начала отсчета пути и имела скорость  м/с. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения.

18. Найти закон движения материальной точки массы m по прямой ОА под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния точки  от неподвижного центра О.

19. Определить кривую, у которой радиус кривизны равен постоянной величине.

20. Тело массой m падает с некоторой высоты со скоростью v. При падении тело испытывает сопротивление, пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движения падающего тела.

21. Материальная точка массы m движется прямолинейно под действием силы  F, прямо пропорциональной времени от начала движения и обратно пропорциональной скорости v. Установить зависимость между скоростью v и временем t, если при .

Указание: согласно второму закону Ньютона, .

22. Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произведению скорости движения v на время t. Установить зависимость между скоростью и временем, если при .

23. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости . Выразить  как функцию времени, если известно, что за 25 с с начала движения угловая скорость снизилась со 100 об/с до 50 об/с.

24. Найти кривую, проходящую через начало координат, и такую, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой в некоторой точке, ординатой этой точки и осью , пропорциональна площади криволинейной трапеции, образованной кривой, осью  и ординатой этой точки.

25. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если сумма длин ее касательной и подкасательной равна произведению координат точки касания.

26. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2), если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

27. Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна а.

28. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет постоянную

длину а.

29. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если для любого отрезка  площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей другой этой кривой, равна отношению абсциссы  концевой точки к ординате.

30. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если для любого отрезка  площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги.

По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его. Дифференциальные уравнения являются математической моделью реальных процессов. При составлении д.у. мы пользуемся законами конкретных наук, таких как физика, химия, биология, экономика. Рассмотрим несколько примеров.

Геометрические приложения. В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной  t , нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.

Дифференциальные уравнения Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общие определения. Задачи Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения и решений. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и приводящиеся к ним уравнения. Линейные уравнения

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры