Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Объемы тел вращения

1. Вычислить объем эллипсоида вращения вокруг оси Ох.

Решение. Эллипс  вращается вокруг оси Ох.  ,

2. Найти объем тора, образованного вращением круга  вокруг оси Ох.

Решение. Объем тора равен разности объемов, полученных от вращения криволинейных трапеций, одна из которых ограничена сверху верхней полуокружностью, а другая ограничена сверху нижней полуокружностью. С боков обе трапеции ограничены ординатами  и  и снизу осью Ох.

Для верхней полуокружности , а для нижней — , то

3. Вычислить объем прямого конуса высотой h и радиусом основания r.

Решение. Будем рассматривать конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из катетов.

Уравнение ОА будет .

.

4. Найти объем тела, полученного от вращения кругового сегмента с хордой 2а вокруг оси, параллельной хорде.

Решение.

Уравнение окружности , а уравнение прямой АС: .

Искомый объем есть разность объема шара и объема, полученного от вращения прямой  вокруг оси Ох.

,

так как

.

Найти объёмы тел вращения

1. Астроиды вокруг оси Ох.

2. Циклоиды:  около оси Ох.

3. Циклоиды: ;  вокруг оси Ох и вокруг оси Оу.

4. Сегмента параболы  отсекаемого хордой, проходящей через фокус параболы перпендикулярной к оси  вокруг оси  и оси Оу.

5. Гиперболой  и прямыми ,  вокруг оси Ох.

6. Одной полуволны синусоиды  вокруг оси Ох.

7. Конуса, производимой вращением вокруг оси части прямой , содержащейся между осями координат.

8. Кривой  вокруг оси Ох.

4.5. Площади поверхности тел вращения

1. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы  вокруг оси Ох от  до .

Решение. .

.

2. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Будем рассматривать шар как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности  вокруг оси Ох, тогда ; т. к.  — четная функция,

то.

3. Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг каждой из осей циклоиды  .

Решение. Площадь поверхности вращения вокруг оси Ох  для целой ветви, а вокруг оси Оу — для полуветви , взятыми между соответствующими пределами.

так, что

,

но

т. е.  равна   поверхности соответствующего шара,   равна  поверхности соответствующего шара.

4. Найти площадь поверхности вращения эллипсоида.

Решение. Если эллипс  вращается около большой оси , то получается «удлинённый» эллипсоид вращения, а если около малой оси , то — «сжатый». Площади их поверхностей не одинаковы и выражаются формулами:

 , где , но

, так что

, где   — эксцентритет,

; , и тогда

,

  

  

,

т. е. ;

.

Найти площади поверхностей вращения:

1. Астроиды около оси Ох .

2. Тора, т. е. кольца, полученного от вращения круга около оси, лежащей в его плоскости, но не пересекающей его площадь.

3. Задача Вивиани: найти площадь поверхности, вырезаемого из шара двумя прямыми круговыми цилиндрами, имеющими в основании круги, построенные на радиусах шара и общей образующей — диаметр шара.

4. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса  вокруг оси Ох.

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой ;  вокруг оси Ох.

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги синусоиды  от точки  до точки .

7. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой  и радиусом .

8. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты   вокруг полярной оси.

9. Найти площадь поверхности, полученной вращением кардиоиды   вокруг полярной оси.

Физические приложения определённого интеграла Вычисление статических моментов

Вычисление координат центра тяжести. Теоремы Гюльдена Найти координаты центра тяжести цепной линии  между  и .

Задачи на нахождение работы и давления Найти давление на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен , а верхний диаметр лежит на свободной поверхности воды.

Однородные дифференциальные уравнения

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля Двойной интеграл. Двукратный интеграл. Вычисление двойного интеграла путем сведения к двукратному. Уравнения поверхностей в пространстве трех измерений. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных и криволинейных координатах.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры