Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей

1. Вычислить площадь фигуры ограниченной эвольвентой круга, заданной уравнениями: .

Подпись: 			     M



	B	        r
		         T
	        t       q
	        0        A
	        
		         T

 


Эвольвентой круга называется кривая, для которой окружность служит разверткой, т. е. геометрическим местом центров кривизны. Ее можно рассматривать как траекторию, описываемую точкой A при качении прямой T по кругу. Условие качения без скольжения дает: , , следовательно, . Из  находим полярный радиус — вектор OM.

Т. к. BM есть касательная, то .

Кроме того, , т. е. , откуда , т. е.   ; .

2. Вычислить площадь, ограниченную лемнискатой

.

Подпись: 		  y


			          x

Перейдем к полярным координатам  , тогда уравнение кривой примет вид: .

Тогда .

Очевидно, из уравнения , что в первой четверти  изменяется до , следовательно, вся площадь равна .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной декартовым листом .

Подпись: 		   y



			          x

Полагая  , находим полярное уравнение

 

(делим почленно на ; )

= .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Подпись: 	        y

		r
		  q
		2a	       x


.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной цепной линией .

.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой.

Подпись:            y




			       x
	      x1         x2
Уравнение гиперболы  или .

.

Вычислить площади следующих фигур:

1. Площадь трапеции, ограниченной дугой параболы , прямыми ,  и отрезком оси Ох.

2. Площадь трапеции, ограниченной дугой параболы  и отрезком прямой .

3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой .

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой , , прямыми ,  и осью Ох.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , прямыми ,  и осью Ох.

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ,  и осью .

8. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды ,  и осью абсцисс.

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой , .

10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой .

Определенный интеграл от ограниченной функции Вычислить определенные интегралы по определению

Вычисление определенных интегралов из геометрических соображений

Функция задана параметрическими уравнениями

Длина дуги плоской кривой Вычислить длину дуги кривой  от точки  до точки .

Функции нескольких переменных: определение и геометрический смысл, частное и полное приращение, непрерывность, частные производные. Полное приращение и полный дифференциал. Производная сложной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная неявной функции. Частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры