Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Решение. Тело, объем которого находим (см. рис. 38), ограничено «снизу» плоскостью у = 0, а «сверху» конусом  и проектируется в область D плоскости x0z, ограниченную окружностью .

Введем цилиндрические координаты:

, y = y.

С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей y0z и y0x и что уравнения окружности, ограничивающей область D и конуса, соответственно принимают вид  и  имеем

.


Рис. 38

Пример 17. Найти момент инерции относительно начала координат тела, ограниченного параболоидом  и плоскостью z = 4 (m = 1) (рис. 39).

Решение. Согласно формуле (69) имеем

.

Введя цилиндрические координаты:

, z = z,

получим


.

Криволинейные и поверхностные интегралы

Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и .

Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Пример 7. Вычислить , где  – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы

Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

Интегралы Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица основных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Методы интегрирования. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых иррациональных выражений с помощью подстановок.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры