Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Типовые примеры и их решения

Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (31):

.

Внутренний интеграл вычисляем, считая х постоянным:

.

Полученную функцию от х интегрируем по отрезку [0, 1]:

.

Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не делают, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:

.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми y = 2, z = y и гиперболой .

Решение. Область D (рис. 23) является простой относительно оси 0у. Она имеет нижнюю границу  и верхнюю границу z=y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] z меняется от  до z=y, поэтому имеем

.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена прямыми x = 0, y = 1 и кривой x = ln y.

Решение. Область D (рис. 24) является простой относительно оси 0у. Она имеет левую границу х = 0 и правую границу x = ln y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] x меняется от x = 0 до x = ln y, поэтому по формуле (30) имеем

.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область D (см. рис. 25) является простой относительно оси 0х. Проекцией области D на ось 0х является отрезок [0, 2a]. Нижняя граница – дуга окружности , верхняя – парабола .

Область D проектируется на ось 0у в отрезок [0, 2a]. Пересекая область D стрелками, параллельными оси 0х, видим, что линии входа и выхода не описываются одним уравнением.

Разбивая область D прямой у = а на три части:

;

;

,

получим

.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью  и прямыми у = х и .

Пример 8. В двойном интеграле  расставить пределы в полярных координатах, если область D ограничена кривой .

Пример 11. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью

Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

Интегралы Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица основных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Методы интегрирования. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых иррациональных выражений с помощью подстановок.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры