Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Методом интегрирования по частям называется нахождение интеграла по формуле

 (1.6)

где  функции, имеющие непрерывные производные.

Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла  к вычислению интеграла   который может оказаться существенно более простым, чем исходный, или когда он будет ему подобен.

Для применения формулы (1.6) к некоторому интегралу  следует подынтегральное выражение  представить в виде произведения двух множителей:  и  за  всегда выбирается такое выражение, содержащее   из которого посредством интегрирования можно найти  за  в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается. Иногда формулу интегрирования по частям приходится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислить методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида    где многочлен, число,  Удобно положить  а за  обозначить все остальные сомножители подынтегрального выражения, то есть

В данном случае формула (1.6) применяется столько раз, какова степень многочлена

2. Интегралы вида     В таких интегралах удобно положить  а за  обозначить остальные сомножители, то есть

3. Интегралы вида   где  и  числа. В таком случае за  можно принять функцию  или  Формула интегрирования по частям будет применяться два раза. В повторном интегрировании по частям за  необходимо принять аналогичную в первом применении функцию. В таком случае получается уравнение относительно данного по условию интеграла, из которого легко найти этот интеграл. При неудачном выборе  и  в повторном интегрировании получается бесполезное тождество.

Пример 14. Найти интеграл

Решение. Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по частям. Степень многочлена  равна двум, поэтому будем пользоваться формулой (1.6) два раза.

Положим   тогда  (согласно соотношению (1.5)).

По формуле (1.6) найдем

К последнему интегралу вновь применяем формулу интегрирования по частям. Положим   тогда   (только что был найден такой интеграл). По формуле (1.6) получим

Окончательно получаем

Пример 15. Найти интеграл

Решение. Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по формуле (1.6). Здесь многочлен  первой степени, а значит формула (1.6) будет использоваться один раз. Пологая   найдем:   По формуле интегрирования по частям получим

 Пример 16. Найти интеграл

Решение. Интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям. Пусть   тогда   

Подставляя полученные результаты в формулу (1.6) получим

Пример 17. Найти интеграл

Решение. Так как дан интеграл второй группы, положим   тогда   

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Последний интеграл находим отдельно. Применим к нему метод подстановки. Обозначим  тогда    отсюда  Подставляем в подынтегральное выражение последнего интеграла, находим полученный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной

Возвращаясь к данному по условию интегралу, получаем:

Здесь модуль выражения  заменен скобками, так как это выражение при любых значениях  положительно.

Пример 18. Найти интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы. Пусть   тогда    (согласно равенству (1.5)).

По формуле (1.6) получим

Как видим, в последнем интеграле в сравнении с данным интегралом одна из функций изменилась на кофункцию, то есть  на  Как было сказано ранее, к интегралам третьей группы метод интегрирования по частям применяется два раза, поэтому, решая последний интеграл, положим   тогда  

Используя формулу (1.6), последний интеграл примет вид:

Вернемся к данному интегралу

Последний интеграл совпадает с исходным интегралом. Таким образом мы получили алгебраическое уравнение с неизвестным интегралом

Решим это уравнение относительно исходного интеграла:

  тогда

Если при отыскании второго интеграла выбрать  и  иначе:   то получим   

Возвращаясь к данному интегралу, получим

Получили бесполезное тождество.

 Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.  

5.  6.   7.  8.  

 9.  10.

Ответы. 1.  2.  3.  4.  

5.  6.  

7.  8.  

9. 10.

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

Пример 40. Вычислить интеграл Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых

Производная и ее приложения Производная функции. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Свойства некоторых функций (логарифмической, показательной). Формулы дифференцирования. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры