Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Криволинейный интеграл II рода.

Пусть во всех точках дуги AB плоской гладкой кривой L определена функция двух независимых переменных .

Разобьем дугу LАВ на n частичных дуг точками А0=А, А1, А2,…, Аi ,Аi+1,…, Аn=В. На каждой из частичных дуг выберем произвольную точку Mi (xi,yi ). Вычислим значение функции  в этой точке – . Это число умножим на – проекцию дуги  на ось Ox. Сложим все эти произведения и получим интегральную сумму

.

Если функция  непрерывна во всех точках дуги LАВ, то существует предел интегральной суммы Sn при стремлении всех  к 0, и он не зависит ни от способа разбиения дуги LАВ на части, ни от выбора точки Mi на каждой частичной дуге.

Этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода (КРИ-2) от   по дуге LАВ и обозначается

.

Аналогично, значение функции  в точке Mi (xi,yi) можно умножить на проекцию дуги   на ось Oy –  (а не на ), то получим произведение . Предел суммы таких произведений при условии, что все  также является криволинейным интегралом второго рода и обозначается .

В том случае, когда на дуге LАВ заданы две непрерывные функции   и , то можно рассмотреть криволинейные интегралы второго рода

 (1)

Сумму этих двух интегралов обозначают символом

при этом предполагается, что оба интеграла (1) вычисляются в одном и том же направлении.

По аналогии с вышесказанным, если L – пространственная кривая, то криволинейным интегралом 2-го рода по этой кривой называется интеграл вида

,

 где  – функции трех независимых переменных, определенные в каждой точке кривой LАВ.

2.5. Свойства криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл 2-го рода обладает теми же свойствами, что и криволинейный интеграл 1-го рода. Однако в отличие от последнего он зависит от направления обхода кривой L, а именно:

10. При изменении направления интегрирования КРИ-2 меняет знак на противоположный, то есть

.

20. Механический смысл КРИ-2. Если  - сила, действующая на материальную точку, движущуюся вдоль линии LАВ, то КРИ-2 есть работа силы  вдоль линии LАВ, то есть .

2.6. Вычисление криволинейного интеграла II рода.

Вычисление КРИ-2 сводится к вычислению определенного интеграла с помощью уравнения пути интегрирования (уравнения кривой ).

1) Если кривая L по которой вычисляется КРИ-2, задана параметрическими уравнениями

 где параметр t изменяется на дуге  от t=α до t=β, а функции x(t), y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=

Замечание. Если  кривая в пространстве, то  и функции  – функции трех независимых переменных, определенные в каждой точке кривой LАВ, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=+

+

2) Если кривая L задана на плоскости xOy явно уравнением, где функция  непрерывна вместе со своей производной. Представим  в виде , тогда КРИ-2 вычисляется по формуле

=.

Замечание. Если кривая L задана уравнением , то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

Пример2.2.Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль одного витка винтовой линии , т.е. от точки A(1, 0, 0) до точки

B(1, 0, 4).

Решение. Работа А силового поля

вдоль линии L вычисляется по формуле

, где

Находим

.

 т.к.   и

Тогда работа А силового поля  вдоль одного витка винтовой линии вычисляется по формуле

Приложение двойного интеграла

Формула Грина. Криволинейный интеграл второго рода по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D, может быть преобразован в двойной интеграл по области D ограниченной этим контуром L по формуле Грина.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Основные методы интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием.

Производная и ее приложения Производная функции. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Свойства некоторых функций (логарифмической, показательной). Формулы дифференцирования. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры