Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Дифференциальные уравнения

Задача12. Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: u=u(x) и υ=υ(х), то есть введем подстановку у= u·υ. Тогда у'=u'υ+uυ' и данное уравнение примет вид:

u'υ+uυ'− uυ tg x=− u2 υ2 cos x

или

 υ(u'−u tg x)+ uυ'=− u2 υ2 cos x (1) 

Выберем функцию u так, чтобы

 u'− u tg x=0 (2)

При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид

 uυ'==− u2 υ2 cos x или υ'=− u υ2 cos x  (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющими переменными, имеем:

 tg x d x, ln u=−ln cos x, u=.

Здесь производная постоянная С=0. Подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем:

   .

Тогда

у= u·υ=− общее решение данного уравнения.

Задача 13. Найти частное решение уравнения у''+4у=4sin2x-8cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0)=0.

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения  данного уравнения, то есть

у = уодн+.

Для нахождения уодн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

 уодн=, (4)

где − комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , , имеем:

 уодн=

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа  не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение =. Если же числа  являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение =.

Применяя эту теорему при ,, имеем:

=x(Acos2x+Bsin2x)

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у'':

у''=(4В−4Ах) cos2x+(−4А−4Вх) sin2x.

Подставив в данное уравнение  и у'', получим:

4В cos2x−4А sin2x=4 sin2x−8 cos2x,

откуда А=−1, В=−2.

Следовательно, =−х(cos2x+2sin2x) и

у=−х(cos2x+2sin2x).

Найдем у':

у'=−2С1 sin2x+2С2 cos2x- cos2x-2sin2x-

-х(−2sin2x+4 cos2x).

Используя начальные условия, получим систему

Следовательно, у= есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?

3. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

 4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.

6. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

7. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?

10. Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?

Производная и дифференциал Задача 8. Найдите производные функции

Приложения производной Задача 9. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Определенный интеграл Задача . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2+4х, у=х+4

 Задача . Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Теория пределов Переменная величина. Функциональная зависимость. Способы задания функций. Классификация функций. Числовая последовательность. Предел последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е как предел последовательности. Теорема о представлении последовательности, имеющей предел. Основные свойства пределов.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры