Вычисления интегралов Вычислить двойной интеграл Вычисление площадей Вычислить объем Решить задачу Коши С помощью тройного интеграла вычислить объем тела Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия

Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Контрольная работа №2

Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.

Основные теоретические сведения

1. Схема полного исследования функции и построение ее графика.

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

указать область определения;

найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;

установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

найти асимптоты графика функции;

исследовать функцию на монотонность и экстремум;

определить интервалы выпуклости и вогнутости;

построить график функции.

2. Правила дифференцирования. Если – постоянное число и , – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

3. Таблица производных основных элементарных функций

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10..

11.. 12..

13.. 14..

15.. 16..

4. Таблица простейших интегралов

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10..

11.. 12..

5. Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид

,

если  и первообразная  непрерывна на отрезке .

Пример 1. Найти указанные пределы.

а)

б)

в)

г)

Решение:

а) 

б)в) 

г)

Пример 2. Исследовать функцию  на непрерывность в точках , .

Решение: для точки x1 = 3 имеем:

точка  – точка разрыва II

При  функция определена, следовательно  не является точкой разрыва, .

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Логарифмируя данную функцию, получаем:

.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х:

.

Отсюда

.

Далее

.

Окончательно имеем:

.

Пример 4. Найти производную функции y, если .

Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая  функцией от :

.

Отсюда находим

.

Пример 5. Вычисляем .

Решение.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Интеграл вычисляется по формуле интегрирования по частям: .

.

Делаем замену переменной:

.

получим:

.

Пример 7. Вычислить: .

Решение.

Пример 8. Вычислить: .

Решение.

.

Делая замену переменной:

.

получаем:

.

Введение в численные методы. Основные понятия Интерполяция и квадратурные формулы

Контрольная работа №1 Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.

Контрольная работа №3 Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

Контрольная работа №4 Дифференциальные уравнения. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Задачи на прямую. Геометрический смысл системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными. Окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вывод канонических уравнений и исследование формы кривых. Директрисы кривых второго порядка. Параллельный перенос и поворот осей координат на плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры