Вычисления интегралов, дифференциалов, рядов, матриц Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Вычисление площадей

Вычислить объем эллипсоида вращения вокруг оси Ох.

Пример. Решить задачу Коши

Составить дифференциальное уравнение и решить его.

Вычислить двойной интеграл

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела

Основы векторной алгебры

Аналитическая геометрия

Линейная алгебра

Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.

Исследовать на сходимость числовые ряды

Найти неопределенный интеграл

Дифференциальные уравнения

Элементы линейного программирования

Криволинейный интеграл II рода.

Метод интегрирования по частям

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры

I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителях n-го порядка.
2. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
3. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Проекция вектора на ось. Координаты векторов. Скалярное произведение векторов.
4. Разложение вектора по системе векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и ранг системы векторов.
5. Матрицы. Ранг матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение. Теоремы Кронекера - Капелли.
6. Системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Основные задачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).
7. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пересечение двух прямых.
8. Неравенства первой степени на плоскости и их геометрический смысл.
9. Канонические уравнения кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
10. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, его частные виды. Геометрический смысл неравенства и системы линейных неравенств в пространстве.

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Введение в математический анализ

11. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций.
12. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (формулировка).
13. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Неопределенные выражения и способы их раскрытия (примеры). Сравнение бесконечно малых величин.
14. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и механический смысл.
16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.
17. Производные высших порядков.
18. Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
19. Применение производной к вычислению пределов (правило Лопиталя).
20. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производной к исследованию функций. Экстремумы функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на интервале.
21. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построение ее графика.
22. Приближенное решение уравнений: графическое отделение корней методом проб; метод хорд и касательных. Метод итераций.

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАИВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

23. Определение функции нескольких независимых переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
24. Частные производные функции нескольких независимых переменных, их геометрический смысл (для случая двух независимых переменных). Частные производные высших порядков.
25. Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; его применение в приближенных вычислениях.
26. Экстремум функции многих переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции.
27. Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов.
28. Скалярное и векторное поля. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента.

IV. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

29. Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов.
30. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей.
31. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
32. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным интегралом (формула Ньютона - Лейбница).
33. Вычисление определенных интегралов способом подстановки и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.
34. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона.
35. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисления площадей фигур; объемов тел по площадям сечений и тел вращения; длин дуг кривых; площадей поверхностей вращения. Примеры приложения интеграла к решению простейших задач механики и физики.
36. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.
37. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла.
38. Понятие о тройном интеграле.

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

39. Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие об общем и частном решении. Начальные условия. Интегральные кривые.
40. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.
41. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка (без доказательства).
42. Поле направлений дифференциального уравнения. Изоклины. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка (способ Эйлера).
43. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейно-независимые решения. Структура общего решения.
44. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение уравнения.
45. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема наложения. Метод вариации произвольных постоянных. Частные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами для правых частей в виде функций: многочлен; Aekx; A +B .
46. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

VI. РЯДЫ

47. Числовые ряды; их сходимость и расходимость. Необходимые условия сходимости. Свойства сходящихся рядов.
48. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости, основанные на сравнении рядов. Признак Даламбера. Интегральный признак Коши.
49. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
50. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.
51. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение в степенной ряд элементарных функций.
52. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям, вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.

VII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

53. Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности.
54. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема вероятности суммы двух совместных событий.
55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
56. Теорема о повторении опытов (схема Бернулли). Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона.
57. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины. Примеры распределений: нормальное, биноминальное, пуассоновское, равномерное. Вероятность попадания случайной величины на данный интервал.
58. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; их свойства.
59. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
60. Числовые характеристики статистических распределений (математическое ожидание, дисперсия). Оценка вероятности по частоте. Понятие о доверительном интервале. Доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии нормально распределенной случайной величины.
61. Понятие о центральной предельной теореме.

VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

62. n-мерное векторное пространство. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными. Базисное решение системы.
63. Постановка основной задачи линейного программирования. Сведение основной задачи к канонической форме. Геометрическая интерпретация основной задачи линейного программирования.
64. Опорные решения и их нахождение симплекс-методом. Достаточное условие оптимальности опорного решения.

Библиографический список

1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.:Физмат Гиз, 2002.
2. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. 6-е изд. М.: Наука, 1986.
3. Минорский В.П, Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 2003.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: т. 1, 2. М.: Наука, 2001.
5. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1986.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая школа, 2003.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2003.
В настоящих методических указаниях приведенные пособия для краткости обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами из библиографического списка. Например, запись гл. 3; № 66, 68, 81, 113 означает следующее: изучите материал, изложенный в главе 3 учебника Кудрявцева В.А., Демидовича В.П. "Краткий курс высшей математики" и решите задачи № 66, 68, 81, 113 из задачника Минорского В.П.

грузоперевозки 3 т, су в москве

Ядерные реакторы

Сети