Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач Графические методы решения задач Построения на изображениях Примеры решения типовых задач: матрицы Найти произведение матриц Метод Гаусса

Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Матрицы. Операции над матрицами

 

Пример . Найти произведение матриц и .

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны с 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений

, а произведение BA не существует.

Пример . В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М 1, М 2 и М 3, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М 1 стоит 50 ден. ед., в магазин М 2 - 70, а в М 3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода. Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов

Молокозавод

Магазин

 

М 1

М 2

М 3

1

20

35

10

2

15

27

8

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед. PAN

Пример . Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю. Пример . Вычислить определитель

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A).

Пример . Найти методом окаймления миноров ранг матрицы . Обратная матрица Для матрицы найти обратную.

Критерий совместности Кронекера-Капелли Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна

Задание 2. Вычислить значение функции f (х) в точке x= 0.49, используя квадратичную интерполяцию (интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени).

Решение. При квадратичной интерполяции таблично заданная функция заменяется совокупностью дуг, имеющих форму парабол, каждая из которых проходит через три соседние точки. Уравнение параболы, проходящей через точки (xi, yi) = f (xi), (i =0, 1, 2), задает многочлен Лагранжа второй степени:

.

По условию задачи тремя ближайшими к x=0.49 точками являются: (0.4, 4.1), (0.8, 4.2) и (1.2, 6.20). Подставим эти значения в  и получим:

Ответ: f (0.49) = L(0.49) = 3.9568.

Таким образом, используя линейную интерполяцию, мы получили
f (0.49) = 4.1225 » 4.1, тогда как при квадратичной f (0.49) = 3.9568 » 4.0. Значения функции f (х) в точке x= 0.49, найденные двумя разными способами, отличаются друг от друга приблизительно на 3%.

Замечание. О степени точности двух найденных значений что-либо утверждать затруднительно без дополнительной информации об исходной функции f (х), и потому нельзя определить, какой вид интерполяции предпочтительнее. В то же время, можно отметить, что квадратичная интерполяция представляет поведение функции f (х) на более широком интервале [0.4, 1.2] по сравнению с линейной (х Î[0.4, 0.8]). В этом смысле квадратичная интерполяция может оказаться более предпочтительной.


Диагностика двигателя эндоскопом awtomsk.ru/content/proverka-dvigatelya-endoskopom.
Математика Интегралы при решении задач