Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Вписанные и описанные многогранники

Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где S – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.

Доказательство

Соединим центр вписанной сферы со всеми вершинами многогранника. При этом многогранник делится на несколько пирамид (их количество равно количеству граней многогранника). Высота каждой из этих пирамид равна r, а площадь основания – это площадь некоторой грани многогранника, поэтому ( m – количество граней), что и требовалось доказать.

Поскольку центр вписанной сферы одинаково удален от всех граней многогранника, он лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника.

Теорема 5.11. 

В правильную n -угольную пирамиду можно вписать сферу. Дифференцирование и интегрирование функций

Доказательство

Чертеж 5.6.2.

На чертеже 5.6.2 изображена n -я часть правильной n -угольной пирамиды, где PC – апофема боковой грани PAB ; CO' – биссектриса угла PCO . Ясно, что точка O' одинаково удалена от всех граней пирамиды и является центром вписанной сферы: OO'  =  r – радиус вписанной сферы. Миноры. Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Из Δ O'OC имеем: O'O  =  r  =  OC  tg (α/2), или r  =  r 1  tg (α/2), где r 1 – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, α – двугранный угол при ребре основания.

Задача 4.4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

Решение. 1) Составим расширенную матрицу: .

2) Преобразуем ее так, чтобы исключить переменную  из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки; умножим элементы первой строки на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки; умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки: {Поменяем местами вторую и четвертую строки} {Умножим элементы второй строки на  и сложим с элементами третьей строки} {Умножим элементы третьей строки на  и сложим с соответствующими элементами четвертой строки и переставим местами третий и четвертый столбцы}

.

Из последнего уравнения находим переменную .

6) Подставляя в третье уравнение значение переменной  находим значение переменной : .

7) Из соответствующих уравнений находим оставшиеся переменные:

;

.

8) Проверяем:

.

Ответ:; ; ; .


Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика