Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Вписанные и описанные многогранники
 Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную вписанную сферу.

Доказательство
2
Рисунок 5.6.2.

В треугольной пирамиде ABCD проведем биссекторные плоскости ее двугранных углов с ребрами AB , AC и DC . Эти плоскости имеют единственную общую точку Q , что доказывается аналогично предыдущей теореме. Понятно, что точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. Таким образом, установлено существование вписанной сферы, единственность которой доказывается опять-таки аналогично. Интергал производная геометрический смысл

Теорема 5.8. 

Для того, чтобы пирамида была вписанной в сферу, необходимо и достаточно, чтобы ее основанием был вписанный в окружность многоугольник. Скалярное поле Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек  пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Следствие 5.9.1. 

Любая правильная пирамида является вписанной.

Теорема 5.9. 

Пусть центр сферы, описанной вокруг пирамиды, лежит на прямой, проходящей через высоту пирамиды. Тогда

    b 2  = 2 RH ,

    r 2  =  H (2 R  –  H ),

где R – радиус описанной сферы, H и b – соответственно высота и боковое ребро пирамиды, а r – радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

Доказательство

Чертеж 5.6.1.

Пусть PO – высота пирамиды, O' – центр описанной сферы (чертеж 5.6.1). Поскольку O'     PO , то O – центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды. PK – диаметр описанной сферы, Δ APK – прямоугольный. Согласно свойствам прямоугольного треугольника, имеем:

    AO 2  =  PO  ·  KO , или r 2  =  H (2 R  –  H );

    PA 2  =  PK  ·  KO , или b 2  = 2 RH .

Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений

Задача 4.1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение: 1) Составим определители, соответствующие исходной системе и каждому неизвестному:

; ; ;

тогда решение можно будет определить по формулам Крамера.

2) Вычислим определитель системы: сложим соответствующие элементы первой и второй строк, затем первой и третьей, получим во втором столбце нули, кроме элемента в первой строке. Найдем определитель разложением по второму столбцу: .

Определитель ненулевой, значит, система имеет решение.

2) Вычислим оставшиеся определители:

;

;

.

Откуда решение системы:

; ; .

3) Проверяем подстановкой полученных значений в исходную систему:

. Ответ: ; ; .


Ядерные реакторы

Сети