Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач Графические методы решения задач Построения на изображениях Примеры решения типовых задач: матрицы Найти произведение матриц Метод Гаусса

Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1  и  F 2 (рис. 5.3.2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малой осями . Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

2
Рисунок 5.3.2. Исследование функций при помощи производных

Гипербола. При построении гиперболы точка P , острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1  и  F 2, как показано на рисунке 5.3.3, а. Расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2. При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1 и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы ( PV 1 Q ) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F 2, а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2, придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы P'V2Q' мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1  и  F 2.

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы , строятся как показано на рисунке  5.3.3, б. Угловые коэффициенты этих прямых равны где– отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1,  v 2,  V 1,  V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1  и  v 2. Они находятся на одинаковом расстоянии, равном от точки пересечения осей O . Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O . Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной . Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными .

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы , по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой . Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.).

4
Рисунок 5.3.4.

Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой LL' (рис. 5.3.4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC . Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F . Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой LL' так как общая длина нити равна AB , отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB , то есть PA . Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы , прямая, проходящая через F  и  V , – осью параболы . Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром . Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O , называется сферой Касания круглых тел с прямой и плоскостью Плоскости, равноудаленные от центра сферы, пересекают ее по равным окружностям

Прямая, касающаяся сферы – это прямая, которая имеет единственную общую точку со сферой. Аналогично можно ввести понятие касательной прямой к поверхности конуса (цилиндра) , однако при этом рассматриваются прямые, не проходящие через точки на основании конуса (цилиндра) и через вершину конуса.

Выпуклый многогранник называется вписанным , если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника Выпуклый многогранник называется описанным , если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды

Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где S – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.

Решение (методом Гаусса-Жордано):

Составляем расширенную матрицу системы и преобразуем к треугольному виду. Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножим элементы второй строки на 3 и сложим с соответствующими элементами третьей строки:

получили треугольную матрицу, которая соответствует системе:

.

Ответ: ; ; .


Математика Интегралы при решении задач