Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач Графические методы решения задач Построения на изображениях Примеры решения типовых задач: матрицы Найти произведение матриц Метод Гаусса

Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Изображение многоугольников и многогранников

Допустим, что в пространстве задана произвольная плоскость α и пересекающая ее прямая a . Выберем в пространстве произвольную точку M и проведем через нее прямую b , параллельную a .

Определение 4.3. 

Точка пересечения M 1 прямой b с плоскостью a называется параллельной проекцией точки M на эту плоскость. Плоскость α называется плоскостью проектирования, а прямая a – направлением проектирования.

Рисунок 4.2.1. Использование интегралов в экономических расчетах

Определение 4.4. 

Пусть в пространстве задана некоторая фигура K . Отображение, ставящее в соответствие каждой точке M фигуры K ее параллельную проекцию – точку M 1 на плоскость α в направлении a , называется параллельным проектированием (на плоскость α в направлении a ). Множество точек M 1 называется параллельной проекцией фигуры K на плоскость α в направлении a .

  • Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

Параллельное проектирование применяется для изображения пространственных фигур на плоскости и обладает следующими свойствами (здесь мы предполагаем, что направление проектирования не параллельно рассматриваемым отрезкам и прямым; в противном случае проекцией будет являться точка).

    Проекцией прямой является прямая, проекция отрезка есть отрезок. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Длины проекций параллельных отрезков, а также длины проекций отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны длинам самих этих отрезков.

Изображением данного треугольника может служить любой треугольник.

Для изображения плоского многоугольника выделяют в нем вершины A 1,  A 2,  A 3. Затем строят изображение треугольника A 1 A 2 A 3 в виде произвольного треугольника. Изображение остальных вершин многоугольника строится однозначно с использованием свойств параллельного проектирования.

Из приведенного утверждения следует, что изображением данного треугольника может служить треугольник, подобный любому треугольнику. В частности, любой треугольник можно спроектировать в правильный треугольник, то есть правильный треугольник может служить проекцией любого треугольника.

При изображении многогранников полезно следующее утверждение.

Теорема 4.1. Теорема Польке – Шварца. Изображением данного тетраэдра может служить любой четырехугольник с проведенными в нем диагоналями (не обязательно выпуклый).

Для изображения многогранника выделяют в нем четыре вершины A 1,  A 2,  A 3,  A 4. Затем строят изображение тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 в виде произвольного четырехугольника с проведенными в нем диагоналями. Изображение остальных вершин многогранника строится однозначно с использованием свойств параллельного проектирования.

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a  ||  b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии. Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

В основе изображения фигур на плоскости лежит параллельное проектирование С появлением в стереометрии скрещивающихся прямых возникает вопрос: как определить угол между двумя скрещивающимися прямыми?

Пример 4.12. Найти ранг матрицы .

Решение: Для решения приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, которые не меняют ранга матрицы. Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Также умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки:

{Проведем дальнейшие преобразования: умножим элементы второй строки на 3 и сложим с элементами третьей строки, получим матрицу}. Полученная матрица имеет минор третьего порядка, не равный нулю: . Следовательно, ранг матрицы равен 3.

Ответ: .


Автоматическое заполнение 3 ндфл.
Математика Интегралы при решении задач