Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач Декартова система координат Понятие числовой функции Построение графика Квадратный трехчлен тригонометрические функции

Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Графические методы решения задач

Решение уравнений

Модель 2.17. Решение уравнений.

Пусть задано уравнение f  ( x ) =  g  ( x ), где f и g – некоторые функции. Его решениями называются все числа x i , подстановка которых в уравнение превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости графики функций y  =  f  ( x ) и y  =  g  ( x ). Тогда можно сказать, что решением уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) будет совокупность абсцисс { x i } всех точек пересечения графиков этих функций. В частности, решением уравнения f  ( x ) = 0 будут все нули функции f (точки пересечения графика функции с осью абсцисс). Математика лекции и задачи Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида

Если графики функций не пересекаются, то это означает, что задающее эти графики уравнение решений не имеет.

 

 

 

 

 

Решение неравенств Пусть задано неравенство f  ( x ) > 0 (очевидно, что все неравенства вида h  ( x ) >  g  ( x ) сводятся к рассматриваемому переносом функции g  ( x ) в левую часть). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству. Решение систем уравнений и неравенств

Система уравнений с двумя переменными.

Пусть задана система уравнений Ее решением является совокупность пар чисел ( x i ;  y i ), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f  ( x ,  y ) = 0 и g  ( x ,  y ) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек M i ( x i ;  y i ), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Поскольку каждая геометрическая фигура состоит из точек, можно говорить о точках, принадлежащих геометрической фигуре (то есть о точках, из которых она состоит) и не принадлежащих ей. Для обозначения точек будем использовать заглавные буквы латинского алфавита: A , B , ..., Z , а для обозначения прямой – строчные буквы: a , b , ..., z . Кроме того будем использовать обозначение ( AB ) для прямой, проходящей через две заданные точки A и B Общей точкой прямых a и b называется точка, лежащая на прямой a и одновременно на прямой b . Можно, например, представить две прямые, которые имеют ровно одну общую точку. Такие две прямые называются пересекающимися. Отрезком называется часть прямой, которая содержит две разные точки A и B  этой прямой ( концы отрезка ) и все точки прямой, которые лежат между ними ( внутренние точки отрезка ).

Углом называется фигура, состоящая из точки ( вершина угла ) и двух различных лучей с началами в этой точке – сторон угла

Различные виды углов Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.

Примеры решения типовых задач: прямая в пространстве

Задача 2.12

Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей  и .

Решение: 1) Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы уравнений  исключим . Положим , тогда: , откуда находим: , . Таким образом, нашли координаты фиксированной точки .

2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

 .

3) Запишем канонические уравнения: , или .

4) Обозначив , получаем параметрические уравнения:

, , .


Математика Примеры решения типовых задач: