Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач Декартова система координат Понятие числовой функции Построение графика Квадратный трехчлен тригонометрические функции

Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Квадратичная функция

Квадратный трехчлен

Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа.

Примерами квадратичных функций являются y  =  x 2  + 3 x  – 2, y  = – x 2  + 4 x , y  = 2 x 2  + 5.

Выражение ax 2  +  bx  +  c ,  a  ≠ 0 называют квадратным трехчленом . Вычислить площадь, ограниченную кривой

Пусть имеется квадратный трехчлен y  =  ax 2  +  bx  +  c . При решении многих задач полезным приемом является выделение полного квадрата, то есть выделение квадрата линейной функции:

Так, x 2  + 2 x  – 2 = ( x  + 1) 2  – 3, 3 x 2  – 12 x  = 3 ( x  – 2) 2  – 12. [an error occurred while processing this directive]

Число D  =  b 2  – 4 ac называется дискриминантом квадратного трехчлена .

Дискриминант трехчлена x 2  + 3 x  – 2 равен 3 2  – 4 · 1(–2) = 17, трехчлена – x 2  + 4 x равен 16, трехчлена 2 x 2  + 5 равен –40.

Функция y  =  kx  +  b называется линейной функцией . Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y  =  kx на b вверх, если b  > 0, и на | b | вниз, если b  < 0. Кроме того, если k  ≠ 0, то Значит, график функции y  =  kx  +  b получится из графика y  =  kx сдвигом на Уравнение прямой

Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа. Уравнение ax 2  +  bx  +  c  = 0, где a  ≠ 0, называется квадратным уравнением . График функции при a  ≠ 0 называется параболой . Рассмотрим сначала функцию Областью определения этой функции являются все Решив уравнение получим x  = 0. Итак, единственный нуль этой функции x  = 0. Функция является четной (для любых ось OY является ее осью симметрии.

Тригонометрическими называются функции вида y  = sin  x , y  = cos  x , y  = tg  x , y  = ctg  x и их комбинации.

Синус и косинус Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O , осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A  (0), и осью ординат, проходящей через точку За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M  ( x ) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x : M  ( x ) =  M  (cos  x ; sin  x ). Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора): sin 2   x  + cos 2   x  = 1 Понятие предела функции является одним из самых важных в математике

Тангенсом угла x называется отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла. Котангенсом угла x называется отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла:

Задача 1.13

При каком , если оно существует, векторы ,  и  компланарны?

Решение: С одной стороны, вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю; с другой стороны можно расписать смешанное произведение через определитель 3-го порядка, откуда получаем: . Раскрываем определитель

. Это выражение должно быть равно нулю: . Решая данное уравнение относительно , получаем: . Ответ: при  исходные векторы компланарны.


Математика Примеры решения типовых задач: