Математика Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Линейная алгебра примеры задач

Декартова система координат Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат . В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Понятие числовой функции Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой.

Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y  =  x  + sin  x и y  =  x  sin  x , являющихся соответственно суммой и произведением графиков y  =  x и y  = sin  x .

Квадратный трехчлен

Обратные тригонометрические функции

Графические методы решения задач

Параллельные прямые Две прямые называются параллельными , если они не пересекаются. Cледующая теорема дает достаточные условия параллельности (т.е. условия, выполнение которых гарантирует параллельность) двух прямых.

Примеры решения типовых задач: матрицы

Поверхности второго порядка К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии.

Пример . Найти произведение матриц

Метод Гаусса

Задача 4.2. Решить систему линейных уравнений матричным методом .

Решение: Введем обозначения: ; ; .

тогда исходная система запишется в виде: , откуда решение определяется по формуле: . Определим обратную матрицу:

1) определитель матрицы определитель не равен нулю:

,

следовательно, решение существует; 2) транспонируем матрицу:

; 3) находим алгебраические дополнения к каждому элементу: ; ; ; ; ; ; ; ; ; 4) обратная матрица формируется из алгебраических дополнений, записанных вместо элементов транспонированной матрицы, и деленных на определитель исходной матрицы: .

Проверяем выполнение условия: :

.

Находим решение: .

Проверяем: . Ответ: ; ; .

Задача 4.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

Решение. Составим расширенную матрицу: .
Преобразуем матрицу так, чтобы исключить переменную  из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем умножим элементы первой строки на (-4) и сложим с элементами третьей строки:

Умножим элементы второй строки на (-1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки: . Уравнение, соответствующее третьей строке матрицы, противоречиво:  

или , следовательно, система несовместна.

Ответ: система не имеет решений.