Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Расчеты на растяжение и сжатие статически неопределимых стержневых систем

 Задача 1.5.1 (Пример взят из учебника А.В. Даркова, Г.С. Шпиро «Сопротивление материалов». – М.: «Высшая школа», 1975. – Изд.4-е. – 656с.).

 Дана статически неопределимая плоская шарнирно - стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ВВ1 и СС1 при помощи шарниров.

 Площади поперечных сечений показаны на рис.1.5.1, а.

 Определить нормальные усилия в стержнях ВВ1 и СС1. 

 Решение. На рис.1.5.1, б показана расчетная схема рассматриваемой шарнирной системы, где N1, N2 – нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 и СС1; V, H – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-непод-вижной опоры О; F – внешняя сосредоточенная сила, приложенная к абсолютно жесткому брусу ВD. Таким образом, имеем четыре неизвестные реакции (N1, N2, V, H,) и три уравнения равновесия (,,). Следовательно, данная система является один раз статически неопределимой и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение перемещений.

 Запишем уравнение равновесия

  (а)

которое содержит две неизвестные нормальные силы N1 и N2. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жесткий брус ВD при деформации повернется вокруг опоры О (рис. 1.5.1, б, пунктирная линия В/ОD/), оставаясь прямым.

 Из подобия треугольников ВВ/О и DD/О находим:

 или  (б)

 Из-за малости перемещений будем полагать, что точки В, С, D при деформации системы переместятся соответственно в точки В/, С/, D/, т.е. перемещения точек абсолютно жесткого бруса будут происходить вертикально. Определим удлинения стержней ВВ1 и СС1:

 (в)

но с другой стороны при рассмотрении рис. 1.5.1, б можно получить

 и  или  а с учетом формул (в) имеем  (г)

 Приравняем соответствующие части формул (б) и (г):

 (д)

 Таким образом, получена система двух уравнений (а) и (д) с двумя неизвестными N1 и N2, решая которую находим

.

 Задача 1.5.2. Дана плоская шарнирно-стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса ВD, опертого на шарнирную опору О (рис. 1.5.2). Брус ВD прикреплен к двум стержням ВВ1 и СС1 при помощи шарниров. Площади поперечных сечений стержней ВВ1 и СС1 принять равными.

 Определить нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 (N1)и СС1 (N2).

 Ответ: N1 = 0,6F; N2 = 1,2F.

 Задача 1.5.3. Три стальных стержня с одинаковыми площадями поперечных сечений А прикреплены шарнирно к абсолютно жесткой балке ВС (рис. 1.5.3), на которую действует сосредоточенная сила F = 50 кН.

 Определить необходимую площадь поперечных сечений А трех стержней, если расчетное сопротивление стали стержней Ry = 240 МПа, а коэффициент условий работы γс = 1.

 Ответ: А = 0,83 см2.

 Задача 1.5.4. На рис. 1.5.4 изображена стержневая система, состоящая из недеформируемого бруса АВ, шарнирно опертого в точке В и подвешенного на трех стержнях. Для решения задачи принять q = 10 кН/м, a = 2 м, А1 = 5 см2, А2 = 20 см2, А3 = 10 см2, = 60о.

 Определить нормальные силы, возникающие в стержнях.

 У к а з а н и е. На рис. 1.5.4, б показана расчетная схема рассматриваемой стержневой системы. Пунктирная линия ВЕ/ показывает положение жесткого стержня ВЕ после приложения внешней нагрузки. В качестве уравнения равновесия принять .

 Ответ: N1 = 1,04qa = 20,8 кН; N2 = –180 кН; N3 = 156 кН.

 Задача 1.5.5. Абсолютно жесткий брус ВD, нагруженный силой F = 30 кН (рис. 1.5.5), шарнирно закреплен в точке В и подвешен на двух стальных стержнях с площадями поперечных сечений А1 =5см2, А2 =10см2.

 Определить нормальные напряжения в стержнях.

 Ответ: N1 = 1,217 кН;

 N2 = 14,6 кН.

 Задача 1.5.6. Определить нормальные напряжения в трех стальных стержнях, на которых подвешена абсолютно жесткая балка СD (рис. 1.5.6) с грузом F = 5000 кг.

 Ответ: = 500 кг/см2 = 49,1 МПа;

= 750 кг/см2 = 73,6 МПа;  = 98,1 МПа.

 Задача 1.5.7. Два абсолютно жестких бруса В и С (рис. 1.5.7) соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние стержни – стальные с модулем Юнга , средний стержень – медный с модулем Юнга .

 Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы и равны А = =1см2, расстояния между абсолютно жесткими брусьями l = 1 м.

 Определить нормальные усилия в стержнях, если расстояния между брусьями  увеличить на = 0,0001 м. Найти значение силы F, которая обеспечит увеличение расстояния между брусьями В и С на заданную величину .

 Ответ: Nc = 2,06 кН – в стальных стержнях; Nм = 1,3 кН – в медном стержне; F = 5,42 кН.

 Задача 1.5.8. К двум абсолютно жестким брусьям В и С приложены сосредоточенные силы F = 54,2 кН (рис. 1.5.7). Брусья В и С соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние – стальные с , а средний – медный с . Площади поперечных сечений принять одинаковыми и равными А = 1 см2, а l = 1 м.

 Вычислить удлинения стержней и , а также значения нормальных усилий, возникающих в стержнях.

 Ответ: Nм = 13 кН, Nc = 20,6 кН; == 0,001 м.

 Задача 1.5.9. Абсолютно жесткая балка ОС опирается на шарнирно неподвижную опору О и поддерживается двумя гибкими связями ВD и СЕ (рис. 1.5.8).

 Определить внутренние усилия в связях ВD и СЕ, если a = 3 м, b= 2,6 м; с = 1,6 м. Связи изготовлены из одного материала.

 Ответ: NBD = 0,1388Q; NCE = 0,299Q.

1.6. Влияние температуры на напряжение 

и деформации в брусьях

 При нагревании на стержень, заделанный одним концом, увеличит свои поперечные и продольные размеры. Увеличение длины составит

 , (1.6.1)

где – температурный коэффициент линейного расширения. Значения коэффициентов линейного расширения для некоторых материалов приведены в табл. 2.

 Если система представляет собой статически определимую систему, то изменение температуры не вызовет в ней никаких внутренних усилий.

 При нагревании на стержня, заделанного двумя концами, возникнет нормальная сила, так как заделка препятствует удлинению стержня. Для определения нормальных усилий применяется обычный метод расчета статически неопределимых систем.

 Задача 1.6.1. Пусть дана система, представленная на рис.1.5.3. Предположим, что все стержни выполнены из одного материала и имеют одинаковую площадь поперечного сечения А. Примем, что внешняя нагрузка отсутствует, т.е. F = 0, но средний стержень нагрет на величину .

 Решение. Из симметрии конструкции следует, что нормальные силы в крайних стержнях одинаковы (NB = NC). Предположим, что все стержни растянуты. Рассечем мысленно все стержни и составим уравнение равновесия в виде суммы проекций сил на вертикальную ось:

 (а)

 Таким образом, имеем две неизвестные нормальные силы, но одно уравнение равновесия. Задача является один раз статически неопределимой. При составлении дополнительного уравнения примем во внимание, что абсолютные удлинения всех трех стержней одинаковы:

 или

 Абсолютные удлинения крайних стержней возникают от продольной нормальной силы, а абсолютное удлинение среднего стержня равно сумме его температурного удлинения и упругой деформации от продольной силы ND. Приравняв абсолютные удлинения 

, находим .

 Подставляя полученное выражение в уравнение равновесия (а), определяем:  и  Следовательно, в крайних стержнях будут действовать растягивающие нормальные силы, а в среднем – сжимающая нормальная сила.

 Если на стержневую систему (рис. 1.5.3) действует также и внешняя сосредоточенная сила то определив нормальные силы в стержнях, возникающие от этой силы, используем принцип независимости действия сил и просто складываем результаты двух расчетов: от температурного воздействия и от внешней сосредоточенной силы.

 Например, от внешней силы F в стержнях возникнут внутренние нормальные усилия (см. задачу 1.5.3). При нагревании среднего стержня на величину в стержнях возникают, согласно проведенного выше расчета, нормальные усилия

 и NC =

 При одновременном действии внешней силы F и нагреве среднего стержня на  в стержнях будут следующие нормальные усилия:

 Задача 1.6.2. Стержень постоянного поперечного сечения А и длиной l заделан двумя концами. В процессе эксплуатации он нагрелся на величину . Определить возникшие внутренние усилия и напряжения.

 Ответ: ;

 Задача 1.6.3. Два абсолютно жестких бруса В и С соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние – стальные с модулем упругости и температурным коэффициентом линейного расширения , а средний стержень – медный с модулем упругости   и с (рис. 1.5.7). Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы.

Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней, возникающие при повышении температуры всех трех стержней на 45о. Принять F = 0.

 Ответ: = 11,12 МПа; = –22,24 МПа.

 Задача 1.6.4. Определить перемещение нижнего конца стального стержня, нагруженного собственным весом с = 76440 Н/м3 и сосредоточенными силами (рис. 1.2.1). В процессе эксплуатации стержень был нагрет на величину = 50о. Принять модуль упругости материала стержня , температурный коэффициент линейного расширения .

 Ответ:

 Задача 1.6.5. Медный стержень с постоянной площадью поперечного сечения А = 10 см2 загружен сосредоточенными силами F = 1000 кг (рис.1.4.3) и нагрет на = 20о. Определить опорные реакции нижней опоры R1 и верхней опоры R2. Собственный вес стержня не учитывать. Принять модуль Юнга , а коэффициент линейного расширения  (см. табл. 2).

 Ответ: R1 = –4258,4 кг = –417,7 МПа; R2 = –3258,4 кг = –319,6 МПа.

 Задача 1.6.6. Дан прямой стальной стержень (рис. 1.4.1), находящийся под действием собственного веса с = 78,5 кН/м3 и сосредоточенной силы F = 1000 Н. Эпюра внутренних нормальных усилий показана на рис. 1.4.1, г, из которой видно, что опорная реакция RB = –857,16 Н. На сколько градусов по Цельсию () необходимо нагреть или охладить весь стержень, чтобы нижняя опорная реакция RB стала равной нулю (RB = 0)? Принять коэффициент линейного расширения принять по табл.2.

 Ответ: = –0,107о.

 Задача 1.6.7. Определить внутренние усилия и напряжения в каждом участке бруса, изображенного на рис. 1.6.1. Брус был подвергнут нагреванию на . Коэффициент линейного расширения обозначить через  а модуль Юнга через Е.

 Ответ:

 

 Задача 1.6.8. Стальной стержень постоянного поперечного сечения заделан одним концом (рис. 1.4.8). После установки стержня в проектное положение был произведен замер величины зазора между нижним торцом бруса и нижней опорой, который оказался равен  = = 0,5 мм, длина стержня l = 2 м,  удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м3 .

 На сколько градусов () необходимо охладить весь стержень, чтобы опорная реакция нижней опоры была равна нулю (RB = 0) после загружения стержня сосредоточенной силой F = 200 кН.

 Ответ: = –19,62о.

Геометрические характеристики поперечных сечений

Осевой, полярный и центробежный моменты инерции. Зависимости для осевых и полярных моментов инерции. Осевые моменты инерции для прямоугольника, треугольника, круга и кольца. Зависимость между моментами инерции для параллельных осей. Изменение осевых и центробежных моментов инерции при повороте координатных осей. Главные оси инерции. Главные моменты инерции. Вычисление моментов инерции сложных профилей. Радиус инерции.

Кручение

Внешние силы, вызывающие кручение прямого бруса. Эпюры крутящих моментов. Кручение прямого бруса круглого поперечного сечения. Основные допущения. Напряжения в поперечных сечениях бруса. Угол закручивания. Жесткость при кручении. Главные напряжения и главные площадки. Виды разрушений при кручении бруса круглого поперечного сечения из разных материалов. Три вида задач при кручении: определение напряжений или углов закручивания, подбор сечений и вычисление допускаемого крутящего момента по прочности и жесткости. Расчет сплошных и полых валов на прочность и жесткость по мощности и частоте вращения вала. Потенциальная энергия деформации при кручении.

Изгиб

Изгиб прямого бруса в главной плоскости. Внешние силы, вызывающие изгиб. Виды нагрузок. Опоры и опорные реакции. Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях бруса при изгибе: изгибающий момент и поперечная сила. Чистый и поперечный изгиб. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенных нагрузок. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Основные допущения. Зависимость между изгибающим моментом и кривизной оси изогнутого бруса. Жесткость при изгибе. Формула нормальных напряжений. Распространение выводов чистого изгиба на поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе брусьев сплошного сечения (формула Д.И.Журавского). Расчет на прочность при изгибе по допускаемым напряжениям. Три вида задач: проверка прочности, определение размеров сечения, определение максимальной нагрузки по условию прочности. Рациональное сечение балок. Потенциальная энергия деформации при изгибе.


Расчеты на растяжение и сжатие