Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Замечания о выборе теории прочности

Обзор многочисленных теорий предельных состояний показывает, что совершенных теорий еще нет. Каждая из существующих теорий справедлива только в определенных условиях и для определенных материалов. Рассмотренными выше теориями можно пользоваться только при напряженных состояниях с главными напряжениями разных знаков. Возможность применения этих теорий в случаях трехосного растяжения или сжатия требует дополнительной экспериментальной проверки.

При выборе теории прочности в случае плоского напряженного состояния и объемного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков надо учитывать свойства материала. Если материал пластичен и одинаково работает на растяжение и сжатие, то следует пользоваться теорией наибольшей энергии формоизменения или теорией максимальных касательных напряжений. Если пластичный материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то следует применить теорию Мора. Расчет хрупких материалов при указанных напряженных состояниях следует производить по теории Мора.

Пример.

Определить допускаемое касательное напряжение, используя III и IV теории прочности. 

Как известно при чистом сдвиге s1=, s3=, s2=0.

Эквивалентное напряжение по теории максимальных касательных напряжений при чистом сдвиге имеет следующий вид:

IMG00582

откуда получаем

IMG00583

Эквивалентное напряжение по теории удельной потенциальной энергии формоизменения при чистом сдвиге имеет следующий вид:

IMG00584

откуда получаем

IMG00585

Оба результата неплохо согласуются с опытными данными

IMG00586.

Пример.

Подобрать диаметр вала, передающего крутящий момент 1000 Нм на основании теории прочности Мора, если =400 МПа, =1600 МПа, коэффициент запаса прочности при растяжении n=4.

Коэффициент k условия прочности Мора (43) определяется по уравнению (42)

IMG00589.

Допускаемое напряжение на растяжение определяется из следующего уравнения

IMG00590.

Условие прочности по теории Мора при чистом сдвиге, имеющем место при кручении, имеет следующий вид:

IMG00591.

Откуда определяется потребный диаметр вала

IMG00592

Пример.

Определить аналитические выражения эквивалентных напряжений по III и IV теориям прочности для напряженного состояния, имеющего место в промежуточных точках поперечного сечения при плоском прямом поперечном изгибе бруса.

Главные напряжения в промежуточных точках поперечного сечения при плоском прямом поперечном изгибе бруса определяются уравнением

IMG00593.

Следовательно, эквивалентное напряжение по III теории прочности в этом случае имеет следующий вид:

IMG00594

Эквивалентное напряжение по IV теории прочности имеет следующий вид:

IMG00595

С помощью данных уравнений можно проводить полную проверку прочности балок с учетом как нормальных, так и касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях.

Совместные действия изгиба и кручения стержня

На практике деформации кручения часто сопутствует изгиб. Как правило, при работе вал изгибается собственным весом, весом шкивов, давлением на зубья шестерен, натяжением ремней и т.д. Сочетание изгиба с кручением имеет место в пространственных рамах, коленчатых валах и других элементах конструкций.

В предыдущих разделах рассматривались такие частные случаи сложного сопротивления (косой изгиб, внецентренное растяжение или сжатие), при которых в поперечных сечениях бруса возникали только нормальные напряжения, и, следовательно, имело место одноосное напряженное состояние. Это позволило при выводе расчетных формул использовать сечения произвольной формы.

В случае изгиба с кручением от крутящего момента в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, которые рассчитываются по разному для круглых и прямоугольных брусьев. Вследствие этого, рассматривать расчет сечений произвольной формы не представляется возможным.

Кручение с изгибом – частный случай сложного сопротивления, который может рассматриваться как сочетание чистого кручения и поперечного изгиба.

13

14

Рис.7.28

Определение внутренних усилий и напряжений при кручении с изгибом

Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений:

 

Обычно две составляющие поперечной силы (Qy, Qz) и изгибающего момента (My, Mz) приводят к их полным результирующим

Заметим, что часто поперечной силой пренебрегают (для достаточно длинных валов) и рассматривают кручение с изгибом как совместное действие крутящего (Mx, Mкр, T) и изгибающего (Mи) моментов.

Расчет валов круглого (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом

Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 7.29).

image001-28
Рис.7.29

Примем следующий порядок расчета.

1. Разлагаем все внешние силы на составляющие

P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny.

2. Строим эпюры изгибающих моментов Mч и My. от этих групп сил.

У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента Mx, и My, а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис.7.30)

,

который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия относительно нейтральной оси п—п, перпендикулярной вектору Мизг. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру Мизг спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.

image003-27
Рис.7.30

3. Строится эпюра крутящего момента Мz.. Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении.

4. Находится опасное сечение вала.

Опасное сечение вала будем искать, как и прежде, по эпюрам внутренних усилий. При построении эпюр внутренних усилий при кручении с изгибом необходимо иметь ввиду следующие правила:

- эпюры крутящего момента Mx, а также эпюры составляющих поперечной силы Qy, Qz и изгибающего момента My, Mz строятся по той же процедуре, что и ранее;

- результирующая поперечная сила Q может не лежать в плоскости действия результирующего изгибающего момента Mи, а потому между ними уже не будет соблюдаться зависимость Журавского (dM/dx=Q), а, следовательно, и правила проверки эпюр, введенные для плоского изгиба;

- эпюра полного изгибающего момента будет прямой только на тех участках, где My и Mz ограничены прямыми с общей нулевой точкой, на участках, где такая общая точка отсутствует эпюра Mи будет описываться вогнутой кривой и строится по точкам (связано с тем, что вектор Mи в разных сечениях имеет различное направление).

Опасное сечение при кручении с изгибом устанавливается из совместного анализа эпюр крутящего Mx и полного изгибающего Mи моментов. Если в сечении вала постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент Мкр, то это сечение является опасным.

Если же такого явного совпадения нет, то опасным может оказаться сечение, в котором ни М ни Мкр не являются наибольшими. Еще больше осложняется задача при валах переменного диаметра; у таких валов наиболее опасным может оказаться такое сечение, в котором действуют значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях.

В случаях, когда опасное сечение не может быть установлено непосредственно по эпюрам М и Мкр , необходимо проверить прочность вала в нескольких предположительно опасных сечениях.

5. После установления опасного сечения вала в нем находят опасные точки. В сечении возникают одновременно нормальные напряжения от изгибающего момента и касательные напряжения от крутящего момента и поперечной силы. В валах круглого сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной силы относительно невелики и при расчете прочности валов на совместное действие изгиба и кручения не учитываются.

Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k/, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 7.31),

image004-27.

где Wизг — момент сопротивления при изгибе.

В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения

image005-27,

где Wр— момент сопротивления при кручении.

image006-27
Рис.7.31

Как видно из рис. 7.31, в данном случае имеет место плоское напряженное состояние и расчет на прочность должен вестись по одной из гипотез прочности. Для пластичных материалов применяют гипотезу наибольших касательных напряжений (III) или энергетическую гипотезу (IV).

Условие прочности по III гипотезе записывается в виде

. (44)

В рассматриваемом случае

,

или

, (45)

где - эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности.

Условие прочности по IV гипотезе прочности записывается в виде

. (46)

В рассматриваемом случае

,

или

, (47)

где - эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности.

Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей гипотезе, а для очень хрупких – к первой гипотезе

. (48)


Расчеты на растяжение и сжатие