Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Напряжение при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чистым изгибом и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а поперечные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса принимает форму дуги окружности с радиусом кривизны (рис. 6.26). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба переместятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии (рис. 6.26).

В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол , в связи с чем верхние волокна удлиняются, а нижние - укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом . Произвольный отрезок АВ, расположенный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину . С учетом построений, изображенных на рис. 6.26, легко определить величину его линейной деформации:

Рис.6.26

. (1)

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям можно осуществить посредством закона Гука:  (2)

Рис. 6.27

 

Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координаты у (рис.6.27). Учитывая, что сумма элементарных сил по площади поперечного сечения A дает нормальную силу . Но при чистом изгибе = 0, следовательно:

.

Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси через . Очевидно, что

. (3)

C учетом выражения (2) получим:

Откуда

, (4)

где - кривизна нейтрального волокна; EIx - жесткость бруса.

Из формулы (3), исключая , окончательно получим:

. (5)

Эта формула была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году.

Откуда следует, что нормальные напряжения в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при ):

, (6)

где - момент сопротивления сечения при изгибе.

Для прямоугольника  

Для круга  

Для прокатных профилей (двутавра, швеллера, уголка) приводится в таблицах сортамента.

Формулой (6) удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

(7)

где — максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), - допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором ).

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения, которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение и сжатие . Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

.

Из условия (7) формулируют три рода задач на прочность при изгибе:

1) Проверка прочности: задана балка, нагрузка, известен материал. Строится эпюра - определяется , вычисляется и по (7) проверяется условие прочности.

2. Определение максимально допустимой нагрузки по условию прочности.

 (8)

Заданы размеры балки, характер нагрузки, материал балки.

Строится эпюра - определяется от параметра нагрузки, вычисляется и по (8) находят наибольший параметр нагрузки.

3. Конструирование балки – определение размеров ее поперечного сечения.

 (9)

Строится эпюра - определяется , вычисляется правая часть (9) и подбираются размеры поперечного сечения, удовлетворяющие (9).

Для прямоугольного сечения  

Обычно задаются отношением  (10)

Тогда

отсюда . (11)

Задаваясь шириной по (10) получим .

Для двутаврового сечения по таблице сортамента подбирают номер двутавра с большим, чем правая часть (9).

Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента на соответствующем угловом перемещении :

, с учетом и ,

окончательно получим

. (12)

Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений применяют ту же формулу (5).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной (рис. 6.28,а).

Рис. 6.28

 

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.28,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.28,б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади распределены равномерно, используя условие , получим:

,

откуда

. (13)

где - равнодействующая нормальных сил в левом поперечном сечении элемента в пределах заштрихованной площади :

. (14)

С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде

, (15)

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.28,б эта область заштрихована). Следовательно, (15) можно переписать в виде

,

откуда

. (16)

В результате совместного рассмотрения (13) и (16) получим

,

или окончательно

. (17)

Полученная формула (17) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Условие прочности по касательным напряжениям:

, (18)

где -максимальное значение поперечной силы в сечении; - допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине .

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.28,г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz, т.е. по оси z; по вертикальной оси - dy, т.е. по оси у; по оси х - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определяются по формуле (5), а касательные напряжения - по формуле Д.И. Журавского (17). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь и , соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.28,г), получим:

,

откуда будем иметь:

;

.

Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:

.

Определим ориентацию площадки, т.е. значение , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции от и приравняем ее нулю:

.

Предполагая , получим:

.

Откуда окончательно будем иметь:

.

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения - главными напряжениями.

Сопоставляя выражения и , имеем:

,

откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:

и формулы ,

определим главные напряжения, выражая из через и :

.

Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.


Приём Вторсырья на http://makulatura24.ru.
Расчеты на растяжение и сжатие