Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Моменты инерции плоских сечений простой формы

В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y рассмотрим три интегральных выражения:

(10)

Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.

Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 4.5), формулы (10) будут иметь вид:

Рис. 4.5

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 4.6). Преобразуя формулы (10), получим:

 (11)

Рис. 4.6

Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 4.6) являются центральными, тогда и выражения (11) упрощаются и принимают вид:

(12)

Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y , проходящих через его центр тяжести (рис. 4.6). В качестве элементарной площадки dА возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 4.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что .

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю.

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 4.7, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе координат.

Рис. 4.7

Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 4.7, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

.

Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:

.

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 4.7, б), что

,

следовательно,

.

Так как оси x и y для круга равнозначны, то .

Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.

Размерность моментов инерции L4. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.

Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.д.


Расчеты на растяжение и сжатие