Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ПРОВЕРКЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Данный цикл составляют работы, посвященные проверке теоретических формул для расчета напряжений и перемещений сечений в образцах при прямом изгибе, внецентренном растяжении или сжатии, изгибе с кручением и при продольном изгибе стержня.

11.1. Исследование нормальных напряжений в сечениях балки

при прямом изгибе

Целью испытания является проверка теоретических формул для расчета нормальных напряжений при прямом изгибе стальной балки.

11.1.1. Применяемые машины и приборы


Во-первых, в данной работе может быть использована любая из испытательных машин, описанных в п. 10.1.1, и приспособленных для испытаний балок на изгиб. Во-вторых, могут использоваться специальные установки различных типов, описание которых приводится ниже.

Схема одной из таких установок дана на рис. 11.1.1. Как видно из схемы, рабочая часть этой установки представляет собой защемленную одним концом балку (консоль) прямоугольного поперечного сечения. Опора обеспечивает жесткое закрепление одного конца балки. Нагружение балки осуществляется приложением сосредоточенного груза, который можно перемещать вдоль ее оси. 

Схема другой установки на изгиб показана на рис. 11.1.2. На станине укреплены болтами две опоры. Ослабив болты, можно перемещать опоры вдоль станины, изменяя при этом величину пролета балки. Нагружение балки производится одним или двумя сосредоточенными грузами, которые могут быть приложены в любом сечении балки.

При выполнении данной работы применяются штангенциркуль, рычажные тензометры, линейки и, при необходимости, стрелочные индикаторы.

11.1.2. Содержание работы

Содержание и объем данной работы может регулироваться преподавателем в зависимости от числа лабораторных установок, количества учащихся в группе и т.п. Здесь рассматривается вариант, когда выполняются испытания на изгиб трех различно нагруженных балок.

Первая балка (расчетная схема ее показана на рис. 11.1.3) испытывает в средней части так называемый «чистый изгиб», при котором в поперечных сечениях этой части балки действуют лишь внутренние изгибающие моменты, а поперечных сил нет (эпюры Q и М на рис. 11.1.3).

Вторая балка, показанная на рис. 11.1.4, нагружается сосредоточенной силой в середине полета. В поперечных сечениях, лежащих в пролете этой балки, действуют как изгибающие моменты, так и поперечные силы (эпюры Q и М на рис. 11.1.4).


Третья балка, показанная на рис. 11.1.5, представляет собой консоль, нагруженную на свободном конце сосредоточенной силой.

На поверхности испытываемых балок в отдельных сечениях устанавливаются с помощью струбцин рычажные тензометры, c помощью которых определяются продольные деформации. В данном случае определяются деформации крайних (наиболее удаленных от нейтрального слоя) волокон сечений.

Нормальные напряжения на основании опытных данных определяются с помощью закона Гука σ = Еε.

Обычно модуль упругости Е материала испытываемой балки известен и остается определить в опыте относительные деформации ε. При коэффициенте увеличения тензометров k и базе Б относительная деформация определится по формуле

где Δ – разность отсчетов по шкале тензометра. Определяемые из опыта деформации и напряжения относятся к точке, расположенной в середине базы тензометра. Это необходимо учитывать и при установке тензометров, и в расчетах.

Первые отсчеты по приборам делаются при начальном нагружении балок. В дальнейшем нагрузку увеличивают равными ступенями, при каждом нагружении производят отсчеты по приборам и вычисляют приращения. По средним приращениям деформаций вычисляют приращения напряжений. Напряжения, полученные в опыте, сопоставляют с вычисленными теоретически. Поскольку в опыте напряжения определяются для крайних волокон, при вычислении теоретических значений напряжений вместо формулы σ = Му/Iz следует использовать формулу

где М – изгибающий момент в данном сечении балки; Iz – осевой момент инерции сечения балки; Wz – осевой момент сопротивления сечения балки; y – расстояние от исследуемой точки до нейтрального слоя балки.

Для сравнения величин нормальных напряжений, полученных расчетом и опытным путем, рассчитывается расхождение η между ними в процентах к теоретическим значениям

Под схемами нагружения балок в журнале работ вычерчиваются эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с указанием на них соответствующих числовых значений в принятой размерности.

11.1.4. Порядок выполнения работы

В каждом из опытов ознакомиться с установкой и занести в журнал работ размеры испытываемых балок, места расположения тензометров и их характеристики.

Поочередно нагрузить балки начальной нагрузкой и записать соответствующие отсчеты приборов.

Равными ступенями увеличивать нагрузку, записывая при этом показания приборов.

Снять нагрузку и сверить показания всех приборов с первоначальными. При значительном расхождении показаний опыт повторить.

Определить разности отсчетов приборов и найти их средние значения. На основании опытных данных определить средние приращения напряжений в выбранных местах балки.

Произвести теоретический расчет этих же величин. Для этого вначале построить эпюры Q и М для всех схем нагружения балок и вычислить приращения напряжений для тех же точек балок по формулам сопротивления материалов.

Вычислить расхождения в процентах между расчетными и опытными данными.

11.1.4. Пример обработки опытных данных


Здесь приводится пример обработки опытных результатов лабораторной работы для одной из возможных схем нагружения балки на специальной установке. Схема испытательной установки и поперечное сечение балки показаны на рис. 11.1.6, а, б.

Геометрические и механические характеристики балки:

 Длины участков: l = 60 см; l2 = 50 см; l1 = 30 см.

 Размеры поперечного сечения: ширина b = 2,5 см; высота h = 1,5 см.

 Осевой момент сопротивления: 

 Модуль упругости материала балки (сталь): Е = 2ּ105 МПа.

Характеристики тензометров:

 Коэффициент увеличения: k1 = 1000, k2 = 1000.

 База: Б1 = 20 мм, Б2 = 20 мм.

Таблица наблюдений

Нагрузка

F, Н

Приращение

нагрузки ΔF, Н

Показания тензометров

n1, мм

Δ n1, мм

n2, мм

Δn2, мм

30

26,0

27,0

60

30

27,1

1,1

28,5

1,5

90

30

28,0

0,9

30,0

1,5

Средние приращения показаний тензометров:

Δn1,ср = 1,0 мм; Δn2,ср = 1,5 мм.

Относительные деформации:

 

Приращения напряжений на интервале нагрузки ΔF = 30 Н, полученные из опыта

Теоретический расчет напряжений

Расчетная схема балки и эпюры Q и М показаны на рис. 11.1.7.

Приращения напряжений на интервале нагрузки ΔF = 30 Н определим по формулам

Расхождение опытных и расчетных результатов:

11.2. Определение линейных и угловых перемещений

поперечных сечений статически определимой балки

Целью испытания является определение экспериментальным путем величин прогибов и углов поворота некоторых сечений балки и сравнение полученных величин перемещений с их теоретическими значениями.

11.2.1. Применяемые машины, установки и приборы

В данной лабораторной работе могут быть использованы испытательные машины, описанные в п. 10.1.1 и приспособленные для испытаний на изгиб, и специальные установки для опытов на изгиб, описанные в п. 11.1.1. Кроме того, применяются специальные установки, схемы которых показаны на рис. 11.2.1 и 11.2.2.

Сравнительно гибкая балка, обычно прямоугольного сечения, в одном случае опирается на две опоры, укрепленные на неподвижной станине (рис. 11.2.1), в другом случае – является консолью (рис. 11.2.2). В схеме, изображенной на рис. 11.2.1, возможно перемещение опор вдоль станины, что позволяет изменять длину пролета и, вообще, схему нагружения балки. В одном или двух сечениях балок с ними жестко соединены тяги. Между осью балки и осями тяг угол прямой.

 С помощью стрелочных индикаторов, касающихся своими штифтами концов указанных тяг, определяются угловые перемещения тех сечений балки, где с ней соединяются тяги. Другие индикаторы, соединенные с балками, позволяют определять линейные перемещения сечений или прогибы. Индикаторы обычно имеют цену деления 0,01 мм и пределы измерений линейных перемещений от 0 до 10 мм.

Нагружение балок осуществляется приложением одного, двух или более сосредоточенных грузов, прикладываемых в разных сечениях.

11.2.2. Содержание работы

Испытание балок в данной работе, так же как и в предыдущей, осуществляется в пределах упругости, без остаточных деформаций.

Первые отсчеты по приборам делают при некотором предварительном начальном нагружении балки. Далее нагрузку увеличивают равными ступенями, при каждом нагружении производят отсчеты по приборам и устанавливают приращения показаний.

Стрелочные индикаторы, штифты которых касаются самой балки, фиксируют линейные перемещения центров тяжести данных сечений, т.е. прогибы. Индикаторы, штифты которых касаются концов тяг, фиксируют линейные перемещения Δ этих концов. Зная эти перемещения и длину тяги r, устанавливают величину тангенса угла ψ (рис. 11.2.1), а с учетом малости деформаций и величину самого угла tgψψ = Δ/r. Это и есть угол поворота сечения балки в месте соединения ее с тягой.

Теоретический расчет линейных и угловых перемещений сечений балки производится по указанию преподавателя любым способом, рассмотренным на предыдущих практических занятиях. Это может быть и метод начальных параметров и метод единичной силы (формула Мора, правило Верещагина). В простейших случаях нагружения балок возможно использование справочных данных.

Для сравнения величин линейных и угловых перемещений, полученных в опытах и расчетным путем, подсчитывается расхождение между ними η в процентах к расчетным значениям:

 

11.2.3. Порядок выполнения работы

Ознакомиться с опытной установкой, занести в журнал работ схему нагружения испытываемой балки, необходимые размеры длин участков и поперечного сечения, указать места расположения индикаторов.

Нагрузить балку начальной нагрузкой и записать соответствующие отсчеты приборов.

Равными ступенями увеличивать нагрузку, записывая в журнал показания приборов.

Разгрузить балку до начальной нагрузки и сверить показания всех приборов с первоначальными. При значительном расхождении опыт повторить.

Определить разности отсчетов приборов и найти их средние значения. На основании опытных данных установить средние приращения линейных и угловых перемещений выбранных сечений балки.

Произвести теоретический расчет этих же величин по формулам сопротивления материалов.

Вычислить расхождения в процентах между расчетными и опытными данными.

11.2.4. Пример обработки опытных данных

Приведем пример обработки опытных результатов лабораторной работы для одной из возможных схем нагружения балки на специальной установке, схема которой показана на рис. 11.2.3.

Геометрические и механические

характеристики балки

– длина балки l = 120 см;

 – длина участка балки а = 30 см;

 – длина тяги r = 35 см;

 – размеры поперечного сечения:

ширина b = 5,0 см; высота h = 0,9 см;

 – осевой момент инерции: 

Iz = bh3/12 = 5ּ0,93/12 = 0,3 см4.

 Материал балки – сталь с модулем продольной упругости Е = 2ּ105 МПа.

 Цена деления прогибомеров – 0,01 мм.

Таблица наблюдений

Нагрузка

F, Н

Приращение

нагрузки ΔF, Н

Показания прогибомеров, деления

n1

Δn1

n2

Δn2

n3

Δn3

10

79

76

76

20

10

161

82

149

73

152

76

30

10

245

84

228

79

232

80

40

10

324

79

304

76

308

76

Средние приращения показаний индикаторов в делениях шкалы:

Δn1,ср = 81,6; Δn2,ср = 76,0; Δn3,ср = 77,3.

Средние приращения показаний индикаторов в мм:

Δn1,ср = 81,6ּ0,01 = 0,816 мм; Δn2ср = 76ּ0,01 = 0,76 мм;

Δn3,ср = 77,3ּ0,01 = 0,773 мм.

Опытное значение прогиба сечения А балки от нагрузки ΔF = 10 H:

yA on = Δn1,ср = 0,816 мм.

Опытные значения углов поворота торцевых сечений балки от нагрузки ΔF = 10 H:

Теоретический расчет перемещений

Грузовое и единичные состояния балки и эпюры соответствующих изгибающих моментов показаны на рис. 11.2.4. Определим линейные и угловые перемещения при помощи интеграла Мора, используя правило Верещагина: 

= 8,2·10-4 м = 0,82 мм;

 

 Расхождение опытных и расчетных результатов:

Примеры типовых расчетов статически неопределимых систем

Рассмотрим основные этапы расчета статически неопределимых систем на примере простейших конструкций.

Пример,.

Определить продольные силы в сечениях ступенчатого стержня, жестко закрепленного по концам (рис.2.44, а).

Ocr0319

Рис.2.44

Решение.

Под действием силы в заделках возникают опорные реакции и . Единственное уравнение равновесия имеет вид

,

следовательно, система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости отбросим одну из опор, например верхнюю (рис.2.44, б), и составим для стержня уравнение совместности перемещений. Так как длина стержня не изменяется (он жестко закреплен по концам), удлинение верхней части стержня должно быть равно укорочению нижней, т.е. перемещение сечения

.

Уравнение совместности перемещений можно записать в ином виде, определив перемещение верхнего сеченияпод действием сил и . Так как это сечение закреплено, его перемещение равно нулю

.

Очевидно, оба уравнения совместности перемещений равнозначны.

На основании закона Гука, уравнение совместности перемещений запишем в виде

.

Решив совместно уравнение равновесия и уравнение перемещений, получим

; .

Используя метод сечений, находим

; .

Отметим, что в более жесткой нижней части стержня возникает бóльшая по абсолютному значению продольная сила.


Расчеты на растяжение и сжатие