Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Испытание на кручение с определением модуля сдвига

Цель работы – проверить справедливость закона Гука при кручении, определить величину модуля сдвига стали, исследовать характер деформаций при кручении и установить величины разрушающих напряжений при скручивании образцов из различных материалов.

10.5.1. Применяемые машины и приборы

Испытания на кручение производятся либо на стандартных испытательных машинах различных типов, либо на специальных экспериментальных установках. Расположение испытываемого образца в них может быть как горизонтальным, так и вертикальным.

Одним из существующих типов машин на кручение являются машины с маятниковым измерением скручивающего момента. К ним, например, относятся машины российского производства МК-20 и КМ-50. Принципиальная схема такой машины с горизонтальным расположением образца (типа МК-20) показана на рис. 10.5.1. Нагружение образца 1, укрепленного с помощью заклинивающих устройств в захватах 2, производится вручную

или при помощи электромотора через червячную пару 6 и 7. Возникающий на захвате 2 скручивающий момент уравновешивается отклонением маятника 8. Угол отклонения маятника от вертикали пропорционален величине момента, скручивающего образец. Отсчет величины этого мо-мента производится по шкале, нанесенной на втулке маятника 3 или по шкале барабана 4, который поворачивается пропорционально углу отклонения ма-ятника зубчатой рейкой 5.

 Схема машины на кручение с вертикальным расположением образца (типа КМ-50) показана на рис. 10.5.2.

 Нагружение образца производится также вручную или от электромотора. Скручивающий момент, приложенный к образцу через захват, уравновешивается моментом маятника. Отклонение маятника регистрируется стрелкой измерительного устройства.

 Наряду с указанными машинами существуют машины на кручение с рычажным измерением скручивающего момента. Принципиальная схема одной из таких машин показана на рис. 10.5.3.

Здесь образец 1 крепится в захватах 2 и 3. На захват 2 передается скручивающее усилие через червячную па-ру от ручки 4. Это усилие захват 3 воспринимает от образца и передает через систему рычагов 5, 6 на коромысло 7 с подвижным грузом 8. Посредством перемещения груза достигается уравновешивание коромысла, на котором нанесены деления, по которым и фиксируется момент на образце.

 Наряду со стандартными машинами для проведения лабораторной работы может быть применена специальная установка для испытания на кручение, которую можно изготовить в мастерской лаборатории. Схема такой установки со скучивающим моментом до 2500 Н·см показана на рис. 10.5.4

 Круглый стальной образец 1 одним своим концом жестко закрепляется в стенке станины установки. Другим концом образец свободно проходит через отверстие в другой стенке станины 3. На свободном конце стержня перпендикулярно ему жестко прикреплен рычаг 4, к которому приложена нагрузка F, закручивающая стержень. Поскольку рычаг 4 расположен у самой опоры, изгиб стержня будет незначительным и им можно пренебречь, считая образец работающим только на кручение. Величина скручивающего момента может изменяться как при помощи гирь, так и изменением места расположения подвеса на рычаге.

На испытываемом образце в двух выбранных сечениях 5 и 6 жестко закреплены две струбцины 7 и 8 длиной а каждая. При закручивании образца струбцины поворачиваются на некоторые углы ψ1 и ψ2. Искомый угол закручивания на участке между сечениями 5 и 6 равен ψ = ψ2 – ψ1.

Так как испытание проводится в пределах упругости и, следовательно, углы  ψ1 и ψ2 имеют весьма малые значения, то они могут быть определены по перемещениям концов струбцин через их тангенсы:

 

отсюда ψ = ψ2 – ψ1 = (y2/a) – (y1/a). Измерение перемещений концов струбцин производится с помощью стрелочных индикаторов часового типа.

Стрелочный индикатор (мессура) – прибор часового типа, применя-ющийся для замера перемещений, прогибов и т.п. Принципиальная схема прибора показана на рис. 10.5.5. При измерении перемещений индикатор устанавливается неподвижно и прижимается штифтом 1 к точке тела, перемещение которой желают определить. Пружина 2 обеспечивает постоянный контакт измерительного штифта с поверхностью тела. Перемещение штифта через систему передач (червячная рейка 4, шестерни 5 и 6) передается стрелке 3. При перемещении штифта на 1 мм стрелка 3 делает полный оборот. По окружности, описываемой концом стрелки, нанесена шкала со 100 делениями. Таким образом, одно деление шкалы соответствует перемещению штифта на 0,01 мм.

Иногда используют устройство, в котором штифт стрелочного индикатора соединяется с определенным сечением образца. Соответствующим подбором конструктивных размеров устройства добиваются удобного соотношения между величиной угла закручивания образца и показанием индикатора. Например, углу закручивания образца на одну минуту соответствует одно деление индикатора.

В данной лабораторной работе возможно также использование зеркального прибора для замера углов закручивания. Схема такого прибора приведена на рис. 10.5.6. В сечении 1, угол закручивания которого нужно определить, при помощи струбцины 2 прикрепляется стержень с зеркалом 4 на конце. Против зеркала на расстоянии L устанавливается рейка 5 с миллиметровыми делениями на ней. Рядом с рейкой помещается зрительная труба 6. В исходном положении при помощи волоска зрительной трубы делается отсчет В1 по рейке, отраженной в зеркале. При повороте сечения на угол ψ на такой же угол повернется и зеркало. При этом наблюдатель сделает на рейке отсчет В2. Разность отсчетов ΔВ = В2 – В1 будет пропорциональна углу закручивания сечения. Из рис. 10.5.6 видно, что tg2ψ = ΔВ/L. Так как угол закручивания сечения весьма мал ввиду малости упругих деформаций, можно считать, что tg2ψ2ψ. Тогда ψ = ΔВ/2L.

10.5.2. Содержание работы

Работа состоит из двух частей:

 а) экспериментальная проверка закона Гука при кручении и определение модуля сдвига стали; б) изучение характера деформаций и разрушения при кручении образцов из различных материалов и определение для них пределов прочности при кручении.

Закон Гука при кручении стержней круглого поперечного сечения выражается формулой

где Т – крутящий момент, Ψ – угол закручивания, возникающий под действием этого момента, l – расстояние между закручиваемыми сечениями, Iρ – полярный момент инерции образца.

Если в процессе опыта окажется, что одинаковым ступеням приращения крутящего момента соответствуют одинаковые приращения угла закручивания, то это будет говорить о справедливости закона Гука при кручении в данных пределах.

После того как установлена справедливость закона Гука, можно найти величину модуля сдвига материала образца. Зная величину l и вычислив полярный момент инерции сечения образца Iρ, можно по замеренным углам закручивания ψ, соответствующим ступеням моментной нагрузки, вычислить значение величины G по формуле

Пользуясь известной из теории сдвига зависимостью G=E/2(1+ν), следует сравнить найденное в данной работе значение величины G для стали с выраженным по этой формуле значением. Для Е и ν их значения можно взять из ранее выполненной работы (см. п.10.2).

При кручении в сечениях, перпендикулярных оси стержня, возникают касательные напряжения τ, а по сечениям, наклоненным к оси на угол 45о, действуют главные напряжения σmax = σ1 = τ и σmin = σ3 = –τ. Характер разрушения при кручении образцов из различных материалов зависит от способности материала сопротивляться растяжению и сдвигу.

Разрушение стального образца (пластичный материал) вызывается действием касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях. Разрушение чугунного образца (хрупкий материал) связано с действием главных (конкретно – нормальных растягивающих) напряжений. Разрушение деревянного образца происходит путем расслаивания продольных волокон в результате действия касательных напряжений в продольных сечениях образца, проходящих через его ось.

По результатам испытаний определяются пределы прочности при кручении для указанных материалов.

Следует учитывать, что разрушение стального образца происходит в пластической области и в расчет принимается пластический момент сопротивления кручению Wρ,пл, который, как известно, связан с полярным моментом сопротивления Wρ соотношением Wρ,пл = 4Wp /3. Таким образом, предел прочности при кручении для стали устанавливается по формуле

Разрушение чугунного и деревянного образцов происходит в пределах упругих деформаций, и для них предел прочности определяется по формуле

В журнал работ зарисовываются эскизы образцов до и после разрушения. Для стали изображается схема диаграммы кручения в координатах «крутящий момент – угол закручивания» (схема потому, что упругий участок диаграммы кручения стали существенно меньше неупругого).

10.5.3. Порядок выполнения работы

Обмерить с помощью штангенциркуля или микрометра размеры, определяющие площадь поперечного сечения каждого испытываемого образца, вычислить полярные моменты инерции и полярные моменты сопротивления сечений и занести их в журнал работ.

Заложить стальной образец в захваты машины или специальной установки на кручение и закрепить в соответствующих местах измерительные приборы.

– Проверить готовность машины к испытанию и нагрузить образец начальной небольшой нагрузкой (создать первоначальный натяг), при которой произвести замер угла закручивания.

– Увеличивать нагрузку равными ступенями и заносить в журнал работ отсчеты при каждой ступени нагружения.

– По окончании опыта рекомендуется образец разгрузить до первоначальной нагрузки и сделать контрольные отсчеты, сопоставив их с первоначальными.

– Для выполнения второй части работы с образца снимаются измерительные приборы и затем осуществляется непрерывное его нагружение до разрушения. Одновременно машиной производится запись диаграммы испытания в координатах «крутящий момент – угол закручивания».

– Аналогично проводятся испытания до разрушения при кручении образцов из чугуна и дерева. Запись диаграммы испытания можно не производить, однако следует зафиксировать в каждом опыте величину разрушающего скручивающего момента и соответствующего угла закручивания.

– По окончании испытаний выключить машину и вынуть части разрушенных образцов из захватов.

– В журнале работ произвести вычисления значений среднего при-ращения угла закручивания Δψср, модуля сдвига G и сравнить последний с вычисленным по формуле через величины Е и ν.

– Вычислить пределы прочности при кручении для всех испытанных материалов.

– Изобразить в журнале работ схему диаграммы кручения стали и эскизы всех образцов до испытания и после их разрушения. В каждом случае в журнале записать заключение о причине разрушения образца из каждого материала.

10.5.4. Пример обработки опытных данных

Испытательная машина КМ – 50.

Геометрические и механические характеристики стального образца:

– расчетная длина l = 10 см;

– диаметр d = 1,0 см;

– полярный момент инерции Ip = πd4/32 = 0,098 см4;

– полярный момент сопротивления Wp= πd3/16 = 0,196 см3;

– модуль продольной упругости Е = 2ּ105 МПа;

– коэффициент Пуассона ν = 0,3.

Скручивающий момент измеряется при помощи маятникового силоизмерителя; угол закручивания в упругой зоне измеряется с помощью приспособления, включающего индикатор часового типа; углу закручивания в одну минуту соответствует одно деление шкалы индикатора.

а) Экспериментальная проверка закона Гука и определение модуля G

Таблица наблюдений

Скручивающий момент Т, Н·м

Приращение

момента ΔТ, Н·м

Угол закручивания ψ, мин

Приращение угла Δ ψ, мин

8

 

39

11

3

53

14

14

3

67

14

17

3

82

15

Среднее приращение угла закручивания в минутах Δψср΄ = 14,33 мин.

Среднее приращение угла закручивания в радианах 

Модуль сдвига стали из опыта

Модуль сдвига стали по теоретической формуле

Расхождение опытного и расчетного значений модуля сдвига

б) Разрушение стального образца

 Скручивающий момент, соответствующий пределу пропорциональности Tpr = 35 Н·м;

 угол закручивания, соответствующий пределу пропорциональности

ψpr = 2,8º;

 скручивающий момент при разрушении образца Tmax = 80 Н·м;

 угол закручивания при разрушении образца ψmax = 1620º.


Схема диаграммы кручения

Предел прочности стали при кручении

Эскизы образца


До опыта После опыта

Заключение о причине разрушения: образец разрушился от касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях образца. 

Геометрические характеристики плоских сечений

В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов.

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Площадь плоских сечений

Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие. При расчетах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и т.д.

Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и сооружений.

Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть

(1)

Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей. В этом случае

. (2)

Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L2. Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.

Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь.

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.


Расчеты на растяжение и сжатие