Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Испытание на сжатие образцов из пластичных и хрупких материалов

Целью работы является определение пределов прочности и изучение характера разрушения образцов металла, цемента и дерева при сжатии.

10.3.1. Применяемые машины и приборы

При выполнении данной работы могут быть использованы любые испытательные машины (см., например, п.10.1.1.), мощность которых позволяет довести до разрушения при сжатии образцы из выбранных заранее материалов.

Из измерительных приборов применяются штангенциркуль и микрометр. Диаграммный аппарат машины автоматически записывает весь процесс испытания образца в виде кривой в системе координат «нагрузка – абсолютная деформация».

10.3.2. Содержание работы

В процессе испытания образцы из различных конструкционных материалов медленным возрастанием нагрузки доводятся до разрушения, и фиксируется соответствующая разрушающая сила. Образцы для испытаний на сжатие применяются в виде кубика или цилиндра с высотой, соизмеримой с диаметром. Для более длинных образцов в опытах на сжатие трудно избежать искривления.

При сжатии цилиндрического образца из пластичного материала (мягкой стали) при напряжениях, ниже предела пропорциональности, материал ведет себе так же, как при растяжении. Величины предела пропорциональности, предела текучести и модуля продольной упругости для таких материалов при сжатии и растяжении примерно одинаковы.

 После перехода за предел пропорциональности появляются заметные остаточные деформации. Благодаря трению между опорными плитами машины и основаниями образца затрудняются его поперечные деформации в этих сечениях, и он принимает бочкообразную форму. По мере увеличения площади поперечного сечения для дальнейшей деформации приходится увеличивать нагрузку, и образец может быть сплющен, не обнаруживая признаков разрушения. Напряжения, аналогичного пределу прочности при растяжении, в этом опыте получить нельзя, а поэтому приходится ограничиваться определением условного предела прочности. Это – напряжение, при котором цилиндрическая форма образца переходит в явно выраженную бочкообразную (рис. 10.3.1).

Хрупкие материалы (чугун, бетон) при сжатии, так же как и при растяжении, разрушаются при весьма малых деформациях. Образцы, например, из бетона при разрушении от сжатия распадаются обычно на куски, представляющие собой усеченные пирамиды, соединенные меньшими основаниями, что также объясняется влиянием трения между плитами машины и основаниями образцов (рис. 10.3.2). Если ослабить это трение, например, смазывая парафином торцы образца, то характер разрушения бетона будет другой: образец будет разделяться на части трещинами, параллельными линии действия сжимающей силы. Разрушающая нагрузка для такого образца будет меньше, чем для образца, испытанного обычным путем, без смазки.

При разрушении чугунного цилиндрического образца возникают трещины под углом от 40 до 50 градусов к оси образца (рис. 10.3.3).

При сжатии образцов из дерева или вырезанных из стеклопластика получаются резко различные результаты в зависимости от направления сжатия по отношению к волокнам материала. Такие материалы называют анизотропными. При сжатии, например, дерева вдоль волокон предел прочности в 5–10 раз больше, чем при сжатии поперек волокон.


Образец из дерева, испытываемый на сжатие вдоль волокон, до разрушения накапливает сравнительно небольшие деформации. После достижения нагрузкой наибольшего значения начинается разрушение образца, сопровождаемое падением нагрузки (рис. 10.3.4).

При сжатии дерева поперек волокон сначала нагрузка возрастает, достигая величины, соответствующей пределу пропорциональности, затем образец начинает быстро деформироваться почти без увеличения нагрузки. В дальнейшем за счет сильного уплотнения материала нагрузка начинает расти. Условно считают разрушающей ту нагрузку, при которой образец сжимается примерно на 1/3 своей первоначальной высоты (рис.10.3.5).

Величины усилий, показанные силоизмерителями при разрушении образцов, заносятся в журнал работ. В нем же делаются зарисовки образцов до и после разрушения.

По полученным разрушающим силам – истинным или условным – вычисляются напряжения, соответствующие пределу прочности на сжатие, для каждого материала. В журнале работ строятся диаграммы испытания на сжатие в координатах «нагрузка – абсолютная  деформация».

10.3.3. Порядок выполнения работы

Ознакомиться с испытательной машиной, обмерить с помощью штангенциркуля размеры образцов и результаты занести в журнал работ.

Поместить образец между плитами машины и проверить готовность машины к испытанию.

Включить машину и вести наблюдение за поведением образца и показаниями силоизмерительного устройства.

Занести в журнал работ величину усилия, соответствующую началу разрушения образца.

После разрушения образца выключить машину и вынуть разрушенный образец.

По данным испытания вычислить временные сопротивления (пределы прочности) на сжатие для каждого материала, зарисовать вид каждого образца до и после испытания, записать объяснение характера и причины разрушения, изобразить диаграмму испытания в журнале работ.

Общий случай НДС. Обобщённый закон Гука-Коши

Рассмотрим далее общий случай объёмного напряжённо-деформированного состояния (рис. 3.10).

Рис. 3.10

Его можно разложить на сумму двух состояний – трёхосное растяжение и сложный сдвиг в трёх координатных плоскостях. На основании принципа независимости действия сил (напряжений), используя (19) и , , получаем:

(20)

Уравнения (20) можно разрешить относительно напряжений:

(21)

где

(22)

Коэффициент называют модулем Коши – Ламе.

Из (20), (21) следует ещё одна форма записи обобщённого закона Коши – Гука в форме трёх законов:

1. Закон упругого изменения объёма

Складывая в (20) относительные удлинения, получаем:

(23)

где - относительное изменение объёма, - модуль деформации.

2. Закон упругого формоизменения

Составим на основании (20), (23) выражение:

Аналогично можно найти разности , . В результате получаем соотношения

, (24)

представляющие закон упругого формоизменения. Соотношения (24) связывают компоненты девиаторов напряжений и деформаций.

3. Закон упругого упрочнения материала

Величину

(25)

называют модулем девиатором напряжений.

Из (24) следует:

Подставляя полученные выражения в (25), находим:

, (26)

где величина

(27)

носит название модуля-девиатора деформаций. Соотношение (26) выражает собой закон упругого упрочнения материала. В частном случае простого растяжения и соотношение (26) принимает вид

Таким образом, закон упругого упрочнения (26) с точностью до постоянного множителя совпадает графически с упругим участком диаграммы растяжения.

Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке

Рассечём частицу тела около произвольной точки А (рис. 3.11) наклонной плоскостью, направление единичной нормали

к которой определено направляющими косинусами , , (рис. 3.11,а). В результате мы получили фигуру четырёхугольник, или тетраэдр. При уменьшении расстояния AN = h до нуля наклонная плоскость пройдёт через точку А. Обозначим площадь наклонной грани через , а площади координатных граней , , . Вектор на произвольно ориентированной площадке с нормалью и площадью разложим на составляющие:

, (28)

где проекции напряжения на координатные оси.

Проецируя все силы, действующие на тетраэдр, последовательно на оси x, y, z и сокращая на , получим:

а) б)

Рис. 3.11

Очевидно, что площади координатных граней:

Поэтому после сокращения на , получаем формулы

(29)

называемые формулами Коши.

Таким образом, проекции вектора напряжений на произвольно ориентированной площадке с направляющими косинусами , , выражается через шесть компонент напряжённого состояния, совокупность которых образует тензор напряжений. При помощи формул Коши (29) можно найти величину полного напряжения:

. (30)

Вектор напряжений может быть разложен также на нормальную и касательную составляющие:

где t – единичный вектор касательной. Тогда

.

Выразим нормальное напряжение через проекции , , вектора :

(31)

и заменим эти проекции согласно (29). Получим формулу:

. (32)

Если единичный касательный вектор

,

то

(33)

где направляющие косинусы вектора t, определяющие направление действия касательного напряжения .

Подставляя в (33) вместо , , их выражения (29), получаем:

(34)

В частном случае плоской задачи имеем (рис. 3.12):

Из (32), (34) находим:

(35)

Рис. 3.12

где использованы соотношения

.


Расчеты на растяжение и сжатие