Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Аналитический расчет кривых брусьев малой кривизны


Расчет кривых брусьев малой кривизны рассматривался в разделе 5.4. Предложенная в примере 5.4.1 методика построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил легко реализуется в виде программы для ЭВМ.

 Например, составим программу на алгоритмическом языке ПЛ-1 для расчета круговой трехшарнирной арки, изображенной на рис. 9.3.1.

ARCA: PROCEDURE OPTIONS (MAIN);

 /*КРУГОВАЯ АРКА РАДИУСОМ R*/

GET LIST (F,FL,A,B,C,D,Q1,Q2,Q3,Q4,P1,P2,P3,H);

PUT SKIP EDIT (‘КРУГОВАЯ АРКА РАДИУСОМ R’)(X(10),A);

PUT SKIP DATA (F,FL,A,B,C,D,Q1,Q2,Q3,Q4,P1,P2,P3,H);

DECLARE F,FL,A,B,C,D,Q1,Q2,Q3,Q4,P1,P2,P3,H,VA,VB,HH,R,X,Y,TGFI,SINFI,COSFI,

FMO, FQO,FM,FQ,FN;

VA=(Q1*A*(2.*FL–A)+P1*(FL+2.*B)+Q2*B*(FL+B)+P2*FL+Q3*C*(FL–C)+2.*P3*D+

 Q4*D*D)/(2.*FL);

VB=(Q1*A*A+2.*P1*A+Q2*B*(FL–B)+P2*FL+Q3*C*(FL+C)+2.*P3*(FL–D)+

 Q4*D*(2.*FL–D))/(2.*FL);

HH=(VB*FL/2. –P3*C–Q4*D*(C+D/2.) –Q3*C*C/2.)/F;

R=FL*FL/(8.*F)+F/2.;

PUT SKIP DATA (VA,VB,HH,R);

DO X=0. TO A BY H;

FMO=VA*X–Q1*X*X/2.;

FQO=VA–Q1*X;

 CALL TR; CALL REZ; END;

DO X=A TO A+B BY H;

FMO=VA*X-Q1*A*(X–A/2.)-P1*(X–A) –Q2*(X–A)**2/2.;

FQO=VA–Q1*A–P1–Q2*(X–A);

 CALL TR; CALL REZ; END;

DO X=FL/2. TO FL/2.+C BY H;

FMO=VA*X–Q1*A*(X–A/2.) –P1*(X–A) –Q2*B*(X–AB/2.)-P2*(X-FL/2.)-Q3*(X-FL/2.)**2/2.;

FQO=VA-Q1*A-P1-Q2*B-Q3*(X-FL/2.)-P2;

 CALL TR; CALL REZ; END;

DO X=FL–D TO FL BY H;

FMO=VB*(FL–X) –Q4*(FL–X)**2/2.;

FQO=–VB+Q4*(FL–X);

 CALL TR; CALL REZ; END;

TR: PROCEDURE;

Y=F–R+SQRT(R*R– (X-FL/2.)**2);

TGFI=(FL/2. –X)/SQRT(R*R– (X–FL/2.)**2);

COSFI=SQRT(1./(1.+TGFI**2));

SINFI=TGFI*COSFI;

END TR;

REZ: PROCEDURE;

FQ=FQO*COSFI–HH*SINFI;

FM=FMO–HH*Y;

FN=-FQO*SINFI–HH*COSFI;

PUT SKIP DATA (X,FM,FQ,FN);

END REZ;

END ARCA;

 В программе применены следующие идентификаторы:

Текст

l

f

q

φ

H

Mz

Qy/

N

Δx

Программа

FL

F

Q

FI

FMO

FQO

HH

FM

FQ

FN

H

 Алгоритм построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил можно реализовать также на алгоритмическом языке Бейсик. Например, для параболической трехшарнирной арки, изображенной на рис. 9.3.1, программа на этом языке для персональной ЭВМ примет вид:

 5 OPEN “ARCA05.DAT” FOR OUTPUT AS FILE#1

 10 PRINT ‘Расчет параболической трехшарнирной арки’

 20 PRINT ‘Ввести F,FL,A,B,C,D,Q1,Q2,Q3,Q4,P1,P2,P3’

 30 INPUT F,FL,A,B,C,D,Q1,Q2,Q3,Q4,P1,P2,P3

 40 VA=(Q1*A*(2.*FL–A)+2*P1*(FL–А)+Q2*B*(FL+B)+P2*FL+Q3*C*(FL–C)+2.*P3*D+

 Q4*D*D)/(2.*FL)

 50 VB=Q1*A+P1+Q2*B+P2+Q3*C+P3+Q4*D-VA

 60 H=(VB*FL/2. –P3*C-Q4*D*(C+D/2.) –Q3*C*C/2.)/F

 70 PRINT#1, “ Расчет параболической трехшарнирной арки”

 80 PRINT#1, “VA=”,VA,”VB=”,VB,”H=”,H

 100 PRINT#1, “Таблица значений изгибающих моментов, поперечных”

 110 PRINT#1, “ и нормальных сил”

 120 X=-1.0

 125 X=X+1.

 130 TG=4.*F*(FL–2.*X)/(FL*FL)

 140 COS=SQRT(1./(1.+TG*TG))

 150 SIN=TG*COS

 160 Y=4.*F*X*(FL–X)/(FL*FL)

 170 IF X>A GO TO 205

 180 MO=VA*X–Q1*X*X/2.

 190 Q0=VA–Q1*X

 200 GO TO 320

 205 AA=0.5*FL

 210 IF X>AA GO TO 245

 220 МО=VA*X-Q1*A*(X–A/2.) –P1*(X–A)-Q2*(X–A)**2/2.

 230 QO=VA–Q1*A–P1–Q2*(X–A)

 240 GO TO 320

 245 AA=A+B+C

 250 IF X>AA GO TO 290

 260 MO=VA*X–Q1*A*(X–A/2.) –P1*(X–A) –Q2*B*(X–A–B/2.) –P2*(X–FL/2.) –

 Q3*(X–FL/2.)**2/2.

 270 QO=VA–Q1*A–P1–Q2*B–Q3*(X–FL/2.) –P2

 280 GO TO 320

 290 IF X>FL GO TO 370

 300 MO=VB*(FL-X)-Q4*(FL-X)**2/2.

 310 QO= -VB+Q4*(FL-X)

 320 M=MO-H*Y

 330 Q=QO*COS–H*SIN

 340 N=–QO*SIN–H*COS

 350 PRINT#1, “X=”,X,”Y=”,Y,”M=”,M,”Q=”,Q,”N=”,N

 360 GO TO 125

 370 STOP

 380 END

 Здесь применены следующие идентификаторы:

Текст

l

f

q1

cosφ

sinφ

tgφ

Mz

Qy/

Программа

FL

F

Q1

COS

SIN

TG

MO

QO

M

Q

 Затем необходимо дополнительно вычислить усилия Q и N в местах приложения сосредоточенных сил, причем определять Q и N следует в сечениях справа от сил. ЭВМ выдает на печать значения Q, N в сечениях слева от сосредоточенной силы.

 Порядок построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил для эллиптической арки, изображенной на рис. 9.3.2, реализуем на алгоритмическом языке Фортран-IV.

 PROGRAM ARCA01

C Расчет эллиптической трехшарнирной арки 

 TYPE ¤, ‘введите стрелу подъема F=’

 ACCEPT ¤, F

 TYPE ¤, ‘введите пролет арки FL=’

 ACCEPT ¤, FL

 TYPE ¤, ‘введите длину первого участка А=’

 ACCEPT ¤, А ………… и т.д. для B,C,D,Q1,Q2,Q3,Q4,P1,P2,P3

 WRITE (6,102)

102 FORMAT (5X, ‘Расчет эллиптической трехшарнирной арки’/)

 WRITE (6,103)

103 FORMAT (30X, ‘Опорные реакции’/)

 WRITE (6,106)

106 FORMAT (5X, ‘X’,5X,’Y’,10X,’M’,13X,’Q’,15X,’N’/)

 VA=(Q1*A*(2.*FL–A)+P1*(FL+2.*B)+Q2*B*(FL+B)+P2*FL+Q3*C*(FL–C)+2.*P3*D+

 Q4*D*D)/(2.*FL)

VB=Q1*A+P1+Q2*B+P2+Q3*C+P3+Q4*D–VA

 H=(VB*FL/2. –P3*C–Q4*D*(C+D/2.) –Q3*C*C/2.)/F

 WRITE (6,104) VA, VB, H

104 FORMAT (5X,’VA=’,F8.4,5X,’VB=’,F8.4,’H=’,F8.4/)

 X=0.

 2 X=X+1.

 IF (X.EQ.FL) GO TO 10

 Y=F/FL*SQRT(FL*FL–4.*(X–0.5*FL)**2)

 TGFI=(F/FL)**2*4.*(FL/2. –X)/Y

 COSFI=SQRT(1./(1.+TGFI**2))

 SINFI=TGFI*COSFI

 IF (X-A) 5,5,6

 5 FMO=VA*X–Q1*X*X/2.

 FQO=VA–Q1*X

 G0 TO 12

 6 IF (X–A–B) 7,7,8

 7 FMO=VA*X-Q1*A*(X–A/2.)-P1*(X–A)-Q2*(X–A)**2/2.

 FQO=VA–Q1*A–P1–Q2*(X–A)

 G0 TO 12

 8 IF (X-A-B-C) 9,9,10

 9 FMO=VA*X–Q1*A*(X–A/2.) –P1*(X–A) –Q2*B*(X–A–B/2.) –P2*(X–FL/2.) –

 Q3*(X–FL/2.)**2/2.

 FQO=VA–Q1*A–P1–Q2*B–Q3*(X–FL/2.) –P2

 GO TO 12

 10 IF (X–FL) 11,14,14

 FMO=VB*(FL–X) –Q4*(FL–X)**2/2.

 FQO= –VB+Q4*(FL–X)

 12 FM=FMO–H*Y

 FQ=FQO*COSFI–H*SINFI

 FN=–FQO*SINFI–H*COSFI

 PRINT ¤, X,Y,FM,FQ,FN

 G0 TO 2

 14 STOP

 END

 В сечении арки х = 0 м, т.е. на опоре А имеем у = 0, tgφ =, φ = π/2, cosφ = 0, sinφ = 1. Следовательно, по формулам (5.4.3) находим М(х=0) = 0, Q(х = 0) = –Н, N(х = 0) = –VА. Аналогично в сечении х = l, т.е. на опоре В имеем у = 0, φ = –π/2, cosφ = 0, sinφ = –1, и по формулам (5.4.3) находим М(х = l) = 0, Q(х = l) = H, N(х = l) = –VВ.

 Затем необходимо вычислить усилия Q и N в местах приложения сосредоточенных сил, причем определять Q и N следует в сечениях справа от сил. ЭВМ выдает на печать значения Q, N в сечениях слева от сосредоточенной силы.

 Идентификаторы для программы на языке Фортран аналогичны идентификаторам для программы на языке ПЛ-1.

 Задача 9.3.1. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных Qу/ и нормальных N сил для трехшарнирной круговой арки, показанной рис. 5.4.1, a.

 У к а з а н и е. Для расчета можно использовать любую из трех предложенных программ. Программы на языке ПЛ-1 применять без каких-либо изменений. В программах на языках Бейсик и Фортран необходимо заменить уравнение оси арки на уравнение окружности (5.4.4), а значение tgφ дать по формуле (5.4.5).

 Ответ: эпюры Мz, Qу/, N приведены на рис. 5.4.1, г.

 Задача 9.3.2. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных Qу/ и нормальных N сил для трехшарнирной параболической арки, по-

казанной рис. 5.4.3. Ось параболической арки очерчена по кривой

y = 4fx(l – x)/l2, а tgφ = dy/dx = 4f(l – 2x)/l2.

 У к а з а н и е. Для расчета можно использовать без каких-либо изменений программу для ЭВМ на языке Бейсик. При применении предложенных программ на языках ПЛ-1 или Фортран необходимо заменить в них уравнение оси арки на уравнение параболы, данное в условии задачи и, кроме того, поставить соответствующее значение tgφ.

 Ответ: эпюры Мz, Qу/, N приведены на рис. 5.4.3.

 Задача 9.3.3. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных Qу/ и нормальных N сил для трехшарнирной эллиптической арки, показанной рис. 5.4.4. Ось эллиптической арки очерчена по кривой

 а 

 У к а з а н и е. Для расчета можно использовать без каких-либо изменений предложенную программу для ЭВМ на языке Фортран.

 Ответ: эпюры Мz, Qу/, N приведены на рис. 5.4.4, которые построены на основании таблицы значений изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил, выданной ЭВМ на печать.

Таблица значений изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил для эллиптической арки, показанной на рис. 5.4.4

x

y

M

Q

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

2.397916

3.316625

3.968627

4.472136

4.873397

5.196152

5.454356

5.656854

5.809475

5.916080

5.979130

6.000000

5.979130

5.916080

5.809475

5.656854

5.454356

5.196152

4.873397

4.472136

3.968627

3.316625

2.397916

-25.00936

-24.17419

-21.13823

-18.20665

-16.28125

-15.82497

-15.60995

-14.30865

-12.03476

-8.863564

-4.843040

-0.000000

-4.343040

-7.863564

-10.53476

-12.30865

-13.10995

-12.82497

-21.28125

-28.20665

-33.13823

-35.17419

-32.00936

-1.388797

2.037357

2.778986

2.308956

1.174283

-0.3642907

0.7613568

1.775328

2.710070

3.589154

4.430793

5.250000

-3.931229

-3.090930

-2.214185

-1.282963

-0.2739916

0.8446751

-7.291819

-5.504004

-3.213944

-4.0983200E-02

5.003451

-28.07817

-25.95499

-23.99145

-22.39378

-21.14080

-20.19108

-20.18001

-20.11618

-20.01170

-19.87286

-19.70230

-19.50000

-19.68141

-19.83075

-19.94768

-20.02914

-20.06832

-20.05241

-23.33756

-23.82265

-24.23805

-24.45017

-23.93278

 Задача 9.3.4. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных Qу/ и нормальных N сил для трехшарнирной параболической арки, показанной на рис. 9.3.3. Уравнение параболической оси арки, значение tgφ и указания к расчету приведены в задаче 9.3.2.

 Ответ: VA = VВ = 120 кН; Н = 120 кН; Mс = Qс = 0; Nс = –Н.

Задача 9.3.5. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных Qу/ и нормальных N сил для трехшарнирной круговой арки, показанной на рис. 9.3.4. Уравнение круговой оси арки задано в виде (5.4.4), значение tgφ вычислить как dy/dx. Указания к расчету приведены в задаче 9.3.1.

Ответ: V = 5кН; Н = 7,5 кН; Мс = 0, R = 6,5 м; Nс = –7,5 кН; Qс=5 кН.

 Задача 9.3.6. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил для трехшарнирной параболической арки, показанной на рис. 9.3.5. Уравнение параболической оси арки, значение tgφ и указания к расчету приведены в задаче 9.3.2.


Ответ: VA = 90 кН; VB = 30 кН; Н = 60 кН; Qс = –30 кН; Nс = –Н.

Для определения внутренних сил в системе из пяти стержней (рис.2.39, г) необходимо вырезать и рассмотреть раздельно равновесие узлов и . К каждому узлу примыкают три стержня (всего пять стержней и, следовательно, пять неизвестных сил), а уравнений равновесия для каждого узла можно составить два, т.е. всего четыре уравнения. Система один раз статически неопределима.

Напомним, что для пространственной системы сил можно составить шесть независимых уравнений равновесия: три уравнения, выражающие сумму проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси (,, ), и три - сумму моментов всех сил относительно этих же осей (,,). Для общего случая сил, лежащих в одной плоскости- три независимых уравнения (например: ,, ). В частных случаях плоской системы можно составить два независимых уравнения равновесия: для системы параллельных сил (например: ,) и для системы сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (,). Для сил, линии действия которых лежат на одной прямой, можно записать только одно независимое уравнение (например: ).

На рис. 2.40 показаны примеры составления силовых схем и определения степени статической неопределимости по формуле

,

где n - общее число неизвестных сил, включая реакции опор; m - число возможных для данной системы независимых уравнений статики.

Рис.2.40

Раскрытие статической неопределимости

Операции по определению неизвестных силовых факторов в статически неопределимых системах принято называть раскрытием статической неопределимости. Производятся они следующим образом. В начале исходя из силовой схемы составляются уравнения равновесия.

При решении любых задач число уравнений должно быть равно числу неизвестных. Для определения сил в стержнях статически неопределимых систем следует составлять уравнения, дополняющие уравнения равновесия до числа неизвестных сил. Дополнительные уравнения, называемые уравнениями совместности перемещений или деформаций, составляют, определяя перемещения отдельных стержней системы и устанавливая между ними связь.

Принцип совместности деформирования выражает условие, заключающееся в том, что конструкция должна деформироваться без разъединения и непредусмотренного взаимного перемещения отдельных ее звеньев.

Для облегчения записей уравнений перемещений строят схему деформаций всех упругих элементов или схему деформированной системы. Для любой статистически неопределимой системы всегда можно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз система статически неопределима.

В силу различной взаимозависимости элементов, различия накладываемых связей и условий деформирования, уравнения совместности деформаций систем записываются по разному. Но все они выражают соотношения деформаций (перемещений) отдельных упругих элементов системы. Например, на схеме,

на рис. 2.40, в

а на рис. 2.40, г.

т. к. весь стержень не может не удлиниться, ни укоротиться. На схеме (рис. 2.40, а) можно установить геометрическое соотношение деформаций стержней 1, 2 и 3.

После получения указанных геометрических соотношений величины абсолютных изменений, длины стержней заменяют по закону Гука их выражениями через усилия :

Полученные таким образом уравнения, содержащие в качестве неизвестных продольные силы, и являются дополнительными уравнениями. Они включают также показатели жесткости отдельных звеньев конструкции, вводя тем самым зависимость распределения сил внутри системы от жесткости ее элементов. Вместе с уравнениями статистики общее число уравнений равно числу неизвестных сил. Решая их, определяют неизвестные внутренние (продольные) силы.

В заключение может быть выполнена энергетическая проверка решения задачи. Она заключается в составлении и удовлетворении равенства работы внешних сил А и суммы потенциальной энергии деформации элементов системы U.


Расчеты на растяжение и сжатие