Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Предельная нагрузка для балок

 Напряженное состояние изгибаемых конструкций (балок) определяется величинами изгибающих моментов. При плоском поперечном изгибе изгибающий момент, согласно рис. 8.1 и рис. 8.2, не может быть больше момента текучести:

или

 (8.2.1)

где и– соответственно статические моменты верхнего и нижнего полусечения относительно нейтральной оси z; Wz,pl – пластический момент сопротивления.

 Например, для прямоугольного поперечного сечения (рис. 8.2.1, а, б):

  (8.2.2)

 В балках при достижении наибольшими изгибающими моментами значений Mu образуются пластические шарниры (рис. 8.2.1, а). В этом случае изгибающий момент в сечении равен предельному Mu и не может увеличиваться, а деформирование балки далее происходит при постоянном значении изгибающего момента в пластическом шарнире.

 Статически определимая балка имеет предельную нагрузку соответствующую образованию пластического шарнира в наиболее напряженном сечении, когда балка превращается в механизм.

 Статически неопределимая стержневая система или балка при разрушении тоже превращается в механизм. При этом в балках или рамах необходимо образование стольких пластических шарниров, сколько требуется для превращения их в механизм.

 Задача 8.2.1. Дана стальная однопролетная шарнирно опертая балка, нагруженная по всему пролету равномерно распределенной нагрузкой q = = 20 кН/м, расстояние между опорами l = 3 м.

 Подобрать сечение прокатной двутавровой балки, если Ry = 240 МПа, = 1, и определить, во сколько раз необходимо увеличить равномерно распределенную нагрузку q, чтобы в балке образовался пластический шарнир. Принять предел текучести стали Ryn = 285 МПа. Собственным весом балки пренебречь.

 Решение. Определяем максимальный изгибающий момент в середине пролета балки:

 По формуле (4.2.7) находим необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки:

 По табл. III, а “Двутавры стальные горячекатаные” выбираем двутавр № 16 с Wz = 109 см3 и статическим моментом площади полусечения относительно нейтральной оси z – = = 62,3 см3.

 По формуле (8.2.1) находим момент текучести

 И, наконец, определяем n = Mu / Mmax = 35,51/22,5 = 1,58.

 Следовательно, если равномерно распределенную нагрузку q =20 кН/м увеличить в 1,58 раза, то в середине пролета в поперечном сечении балки возникнет пластический шарнир и балка превратится в механизм.

 Задача 8.2.2. Консольная балка длиной l = 2 м на свободном конце нагружена сосредоточенной силой Fu. Приняв= 285 МПа, определить предельную нагрузку Fu, если балка имеет постоянное по длине прямоугольное поперечное сечение = 15 см5 см.

 Ответ: Fu = 40,08 кН.

 Задача 8.2.3. Однопролетная шарнирно опертая балка из двутавра №20 нагружена посередине пролета силой F. Пролет балки l = 4 м, предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, расчетное сопротивление стали Ry = 240 МПа, = 1.

 Определить допускаемую Fadm и предельную нагрузку Fu.

 Ответ: Fadm = 44,16 кН; Fu = 59,28 кН.

 Задача 8.2.4. Дана статически неопределимая балка постоянного прямоугольного поперечного сечения (рис. 8.2.2, а).


Определить предельную нагрузку Fu, если предел текучести материала балки= 285 МПа.

 Решение. Определяем предельный изгибающий момент (момент текучести), используя формулы (8.2.1) и (8.2.2):

 Для балки, нагруженной сосредоточенными силами, эпюра изгибающих моментов изображается ломаной линией (рис. 8.2.2, б). Пики эпюры моментов будут находиться в заделке и в точках приложения сосредоточенных сил. В этих сечениях и могут возникать пластические шарниры. В рассматриваемом случае возможны два механизма разрушения балки.

 Первый механизм разрушения. Предположим, что пластические шарниры образовались в заделке и в сечении на расстоянии l1 = 3 м от заделки (рис. 8.2.2, в).

 Составим уравнение предельного равновесия для всей балки (рис. 8.2.2, в):

и для правой части балки (рис. 8.2.2, г):

 В результате получена система двух уравнений с двумя неизвестными величинами Fu1 и VB1:

решая которую находим первое значение предельной нагрузки Fu1 :

 Второй механизм разрушения возможен при возникновении пластических шарниров в заделке и в сечении на расстоянии l3 = 3 м от правой опоры (рис. 8.2.2, д).

 Составим уравнение предельного равновесия для всей балки (рис. 8.2.2, д):

и для правой части балки (рис. 8.2.2,е):

 В результате получена система двух уравнений с двумя неизвестными величинами Fu2 и VB2:

решая которую находим второе значение предельной нагрузки Fu2:

Истинным значением предельной нагрузки должно быть наименьшее из Fu1 и Fu2, но в нашем случае обе предельные нагрузки равны, следовательно,

Fu = min{Fu1, Fu2}= min{95; 95} = 95 кН.

 Задача 8.2.5. Для статически неопределимой балки, изображенной на рис. 8.2.3, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, а балка представляет собой двутавр № 20, причем l1 = l2 =l = 2 м.

 Ответ: Fu = 4Мu/l = 118,56 кН.

 Задача 8.2.6. Для статически неопределимой балки, изображенной на рис. 8.2.3, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки= 285 МПа. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение = , а l1 = 1 м, l2 = 2 м.

 Ответ: Fu = 3Mu = 855 кН.

 Задача 8.2.7. Для балки, показанной на рис. 8.2.4, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, балка представляет собой двутавр № 20, причем

l1 = l2 = l = 2 м.

 Ответ: Fu = 3Mu /l = 88,92 кН.

 Задача 8.2.8. Для один раз статически неопределимой балки, изображенной на рис. 8.2.4, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки= 285 МПа. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение =, а l1 = 1 м, l2 = 2 м.

 Ответ: Fu = Mu(2 + l1/l2)/l1 = 2,5Mu = 712,5 кН.

 Задача 8.2.9. Пусть дана однопролетная балка, нагруженная двумя сосредоточенными силами (рис. 8.2.5). Материал балки – сталь с пределом текучести σу = 285 МПа. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение =.

 Требуется определить предельную нагрузку Fu.

 Эта задача была решена в примере 8.2.4 методом, определяемым статическими теоремами теории предельного равновесия. Решим эту же задачу методом, определяемым кинематическими теоремами теории предельного равновесия. В этом случае будут использоваться формулы для определения работ W внутренних и внешних сил F и моментов М:

  и  (8.2.3)

где– путь, пройденный силой F; – угол поворота сечения.

 Решение. Первый механизм разрушения образуется при возникновении пластических шарниров в сечениях А и С. Составим уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий:

 (8.2.4)

 Учитывая малость углов, запишем (рис. 8.2.5, а):

откуда далее  откуда

 Из подобия треугольников (рис. 8.2.5, а) определяем:

 откуда

Полученные выражения подставим в уравнение равенства работ (8.2.4):

откуда и определяем предельную нагрузку Fu1 для первого варианта разрушения балки (рис. 8.2.5, а):

 Полученный результат совпал с результатом, полученным в примере 8.2.4.

 Рассмотрим второй возможный механизм разрушения балки. Он будет при возникновении пластических шарниров в сечениях А и К (рис. 8.2.5,б).

 Составим уравнение равенства работ внешних и внутренних сил:

  (8.2.5)

 Согласно рис.8.2.5,б с учетом малости углов  запишем

откуда  

откуда

 Из подобия треугольников (рис. 8.2.5, б) определяем

 откуда

 Полученные выражения для,, подставим в уравнение работ (8.2.5) для второго возможного механизма

откуда и находим предельную нагрузку Fu2:

 Окончательно получаем: Fu = min{Fu1, Fu2}= min{95; 95}= 95 кН.

 Задача 8.2.10. Решить пример 8.2.5 кинематическим методом, используя уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий.

 Задачи 8.2.11 – 8.2.13. Решить примеры 8.2.6 – 8.2.8 кинематическим методом, используя уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий.

 Задача 8.2.14. Определить предельную нагрузку для балки постоянного сечения, показанной на рис. 8.2.6, если l1 = l2 = l, EIz = const по всей длине балки, σу – предел текучести материала балки, Wz,pl – пластический момент сопротивления.

 Ответ: Fu = 6Wz,pl/l = 6Mu/l.

При проектировании элементов конструкций стремятся сделать их во всех сечениях равнопрочными.

Рассмотренные три вида расчетов на прочность можно выполнять не только при растяжении или сжатии, а при любом виде деформации (сдвиге, кручении, изгибе).

При проектировании строительных конструкций расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

(2.32)

где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.2.1) или другим нормам.

Таблица 2.1

Элементы конструкции

Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен

Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий:

а) сжатых при расчетах на устойчивость

б) растянутых в сварных конструкциях

Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность

Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность

Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой

0,95

0,95

0,95

1,1

1,1

0,75

Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

принимать .

Для хрупких строительных материалов условия прочности принимают вид:

при растяжении: , ;

при сжатии: , (2.33)

где и – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; nt и nc – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (nt, nc>1).

Для центрально сжатых бетонных элементов формула (2.33) записывается в виде:

(2.34)

где – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

В некоторых случаях работоспособность элемента конструкции определяется не только его прочностью, но и жесткостью, т.е. способностью элемента воспринимать нагрузки без недопустимых упругих деформаций. При расчетах на жесткость определяют максимальные перемещения сечений и сопоставляют их с допускаемыми перемещениями.

Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет следующий общий вид:

,

где - изменение размеров детали;

- допускаемая величина этого изменения.

Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем виде определяется как алгебраическая сумма величин по участкам

,                               (2.35)

условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:

. (2.36)

Так как перемещение, согласно закону Гука, зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, условие жесткости позволяет решать те же три вида задач, что и условие прочности.


Расчеты на растяжение и сжатие