Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ

 В предыдущих главах использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной точке не превосходило допускаемого напряжения (расчетного сопротивления).

 Фактический коэффициент запаса прочности n определялся как отношение предела текучести  к фактическому напряжению :

 В ряде случаев более правильно расчеты на прочность при действии статических нагрузок вести с учетом пластических деформаций, а запас прочности вычислять как отношение предельной нагрузки Fu к фактически действующей F:

 Для определения предельной нагрузки будем применять методы теории предельного равновесия. Будем считать, что конструкции выполнены из идеально пластических материалов, которые могут быть упруго-идеально пластическими (рис. 8.1) и жестко-идеально пластическими (рис. 8.2).

Когда напряжение достигает значения σу, говорят, что конструкция «течет» без возможности увеличения напряжений, а деформация  становится неопределенной.

 Предельным значением нагрузки называется такое значение нагрузки Fu, действующей на конструкцию, при котором невозможно дальнейшее ее увеличение, а деформации соответствуют горизонтальному участку на рис. 8.1 и рис. 8.2. Значение предельной нагрузки для конструкции из жестко- идеально пластического и из упруго-идеально пластического материала одно и то же.

8.1. Предельная нагрузка для стержневой системы

 Для растянутого элемента конструкции предельное нормальное усилие Nu равно

  (8.1.1)

где А – площадь поперечного сечения элемента.

 Предельная нагрузка Fu всегда соответствует превращению конструкции в механизм. Для определения предельной нагрузки применим методы, определяемые статической теоремой предельного равновесия. Согласно этой теоремы предельная нагрузка является максимальной из всех значений нагрузки, удовлетворяющих условиям равновесия.

 В машиностроении вместо формулы (8.1.1) применяют формулу

  (8.1.2)

где n2 – коэффициент однородности материала, n3 – коэффициент условий работы, учитывающий степень ответственности детали.

 Задача 8.1.1. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис. 8.1.1. Предел текучести материала стержней принять = 2900 кг/см2.


Решение. Пусть течет стержень 1 (рис. 8.1.1, а), тогда

 Спроектируем все силы на ось m–m (рис. 8.1.1, б):

откуда находим

 Если же предположить, что течет стержень 2, то будем иметь

 Спроектируем все силы на ось k–k (рис. 8.1.1, в):

 откуда определяем

 Таким образом, получили два значения предельной нагрузки

Fu1 = 9743 кг и Fu2 = 8886 кг,

из которых истинное значение предельной нагрузки будет наименьшим:

 Задача 8.1.2. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис. 1.3.4, если А1 = 2 см2, А2 = 1 см2, предел текучести материала стержней σу = 285 МПа.

 Ответ: Fu = 55 кН.

 Задача 8.1.3. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис.1.3.3. Материал стержней АВ и СD имеет предел текучести σу = 285 МПа, балка АС – абсолютно жесткая. Площади поперечных сечений стержней АВ и СD одинаковы и равны А =

 Ответ: Fu = 2А = 285 кН.

 Задача 8.1.4. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, изображенной на рис. 8.1.2. Предел текучести материала стержней .

 Ответ: Fu = min{Fu1; Fu2};

 Fu1 = A1cos()/cos;

 Fu2 = A2cos()/cos.

 Задача 8.1.5. Определить предельную нагрузку Fu для системы стержней (рис. 8.1.3, а). Дано А1 = 4 см2, А2 = 3 см2, А3 = 2 см2, σу = 285 МПа.

 Решение. Определим предельные нормальные усилия, которые могут возникнуть в стержнях системы:

= 114 кН; = 85,5 кН;


 = 57 кН.

 Для образования механизма рассматриваемой системы достаточно течения каких-либо двух стержней. Возможны три механизма разрушения.

 Первый механизм разрушения. Пусть текут стержни 2 и 3, а стержень 1 работает еще в упругой стадии (рис. 8.1.3, б). Проводим ось а–а, перпендикулярную направлению нормальной силы N1. Проектируем все силы на эту ось:   и определяем

 Второй механизм разрушения. Пусть текут стержни 1 и 3, а стержень 2 работает в упругой стадии (рис. 8.1.3, в). Проводим ось б–б, перпендикулярную направлению оси стержня 2. Проектируем все силы на эту ось:

 и находим

 При возникновении второго механизма разрушения стержень 2 будет вращаться вокруг шарнира А (рис. 8.1.3, а), следовательно, стержень 1 будет растягиваться, а стержень 3 сжиматься (рис. 8.1.3, в). В этом случае полагаем, что Nu3 = 0, т.е. его влияние идет в запас прочности конструкции, так как предполагаем, что сжатый стержень теряет устойчивость и в нем нормальные напряжения не достигают значения предела текучести.

 Третий механизм разрушения. Пусть текут стержни 1 и 2, а стержень 3 работает в упругой стадии (рис. 8.1.3, г). Проводим ось в–в, перпендикулярную направлению оси стержня 3. Проектируем все силы на эту ось:

, откуда

 Истинное значение предельной нагрузки будет наименьшим из полученных трех нагрузок Fu1, Fu2, Fu3:

 Задача 8.1.6. Дана плоская шарнирно-стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса ВD, опертого на шарнирную опору О (рис. 1.5.2). Брус BD прикреплен к двум стержням BB1 и CC1 при помощи шарниров. Площади поперечных сечений стержней ВВ1 и СС1 принять равными А. Предел текучести материала стержней ВВ1 и СС1 – σу. Определить предельную нагрузку Fu.

 Ответ: Fu = Aσу.

 Задача 8.1.7. Три стержня с одинаковыми площадями поперечных сечения А прикреплены шарнирно к абсолютно жесткой балке ВС (рис. 1.5.3). Обозначив предел текучести материала стержней через σу, определить предельную нагрузку Fu.

 Ответ: Fu = 3Aσу.

 Задача 8.1.8. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, представленной на рис. 1.5.5. При расчете принять предел текучести материала стержней = 2900 кг/см2, брус BD – абсолютно жесткий.

 Ответ: Fu = 67,67 т = 663,8 кН.

 Задача 8.1.9. Определить предельную нагрузку Fu для системы, изображенной на рис. 8.1.4. Система состоит из четырех стальных стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром. Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы и равны А = 4 см2. Предел текучести стали принять = 2900 кг/см2.

 Ответ: Fu = 36,496 т = 358 кН.

 Задача 8.1.10. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис. 8.1.5. Площади поперечных сечений заданы и равны А1 = 5,5 см2; А2 = 2,2 см2; А3 = 3 см2, а предел текучести стальных стержней = 250 МПа.

 Ответ: Fu = 212,7 кН.

 Задача 8.1.11. Абсолютно жесткая балка СD подвешена на трех стальных стержнях, площади поперечных сечений которых равны

А1 =1 см2; А2 = 2 см2; А3 = 3 см2 (см. рис. 1.5.6).

 Предел текучести стали принять σу = 285 МПа. Определить предельную нагрузку Fu.

 Ответ: Fu = min{152; 171; 228}=152 кН.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности, составленное для опасного сечения, можно записать в таком виде:

(2.26)

где – максимальное напряжение в конструкции; – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением.

Допускаемое напряжение находится по формуле

. (2.27)

где – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (2.26), возможен второй вариант условия прочности

, (2.28)

где (2.29)

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.

Условие прочности в зависимости от цели поставленной задачи позволяет выполнять расчеты на прочность двух видов: проектный и проверочный. Для спроектированного стержня можно также определять допускаемую нагрузку.

Проектный расчет выполняют с целью определения размеров поперечных сечений элемента конструкции при известных рабочих нагрузках и материале (допускаемых напряжений). Площадь поперечного сечения определяют из выражения

.                                          (2.30)

Форма сечения стержня не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения стержня необходимо знать только для определения размеров сечения при известном значении площади.

Зная площадь сечения и его форму, находят размеры сечения.

Проверочный расчет выполняют для спроектированной конструкции с целью проверки ее прочности. При проверочном расчете должны быть известны площадь опасного сечения, нагрузка и материал (допускаемое напряжение). Проверочный расчет выполняют по формуле (2.26).

Определение допускаемой нагрузки для спроектированного элемента конструкции, размеры поперечного сечения которого и материал (допускаемые напряжения) известны. Условие прочности в этом случае записывают в виде

.                            (2.31)

Зная значение , определяют допускаемую нагрузку .

Так как допускаемые напряжения не имеют точного значения, а выбираются приближенно, то при проверочном расчете максимальные рабочие напряжения могут превышать допускаемые на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки так, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки та, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%.


Расчеты на растяжение и сжатие