Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Упругие колебания систем с одной степенью свободы

Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.

Колебания, вызванные некоторым начальным воздействием и совершаемые затем под действием собственных сил упругости, называют свободными или собственными. Колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил, называются вынужденными.

В динамических расчетах важным понятием является число степеней свободы системы – наименьшее количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы в произвольный момент времени. Системами с одной степенью свободы будут такие, у которых для полной фиксации их геометрического состояния в любой момент времени достаточно знать один параметр, например, положение определенной точки.

В настоящем издании рассмотрены задачи только на незатухающие свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета и с учетом собственной массы системы.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса, например,

 (7.3.1)

где А0 – амплитуда, т.е. максимальное значение обобщенной координаты x при колебаниях системы (рис. 7.3.1); ω – круговая частота свободных колебаний (число колебаний за 2π секунд); (ωt + φ) – фаза колебаний; φ – начальная фаза колебаний, т.е. фаза в момент времени t = 0.

Промежуток времени между двумя последующими отклонениями упругой системы от положения равновесия одного знака называется периодом колебаний и обозначается буквой Т.

Период колебаний и круговая частота свободных колебаний связаны зависимостью

 (7.3.2)

Круговая частота ω связана с сосредоточенной массой m и жесткостью с системы зависимостью

 (7.3.3)

Жесткость системы – это сила, которая вызывает перемещение, равное единице. Часто масса колеблющейся системы считается постоянной, а упругая система линейной, для которой сила упругости Р = mg (g – ускорение свободного падения) пропорциональна соответствующему перемещению xst, т. е.

 P = c xst. (7.3.4)

Учитывая приведенные выше соотношения, можно записать формулы для круговой частоты и периода свободных колебаний, каждая из которых в том или ином случае может оказаться удобной при решении практических задач:

  (7.3.5)

  (7.3.6)

Возможны системы с несколькими упругими связями, каждая из которых имеет свою жесткость. На рис. 7.3.2, а показана схема механической системы с так называемым параллельным соединением упругих связей с жесткостями с1 и с2, а на рис. 7.3.2, б – с последовательным соединением упругих связей. Суммарные жесткости показанных систем рассчитываются по-разному.

При параллельном соединении упругих связей жесткость системы рассчитывается по формуле

 с = с1 + с2 , (7.3.7)

а при последовательном соединении

 (7.3.8)

В предыдущих формулах под массой m понимается масса груза, совершающего колебания, без учета собственной массы системы. Ниже такой подход принят в задачах 7.3.1–7.3.7. В остальных задачах принято, что масса m состоит из массы mг груза, совершающего колебания, и приведенной к точке распределенной собственной массы системы mпр

m = mг + mпр, (7.3.9)

где mпр= αm0, m0 – истинная собственная масса системы; α – коэффициент привидения. Как и в п. 7.2, принимаем α = 1/30,33 – при продольных колебаниях систем, типа показанной на рис. 7.2.5, а; α = 17/350,5 – для изгибных колебаний шарнирно опертой балки на двух опорах (рис. 7.2.5, б); α = 33/1400,235 – для изгибных колебаний консоли (рис. 7.2.5, в).

 Задача 7.3.1. На конце стальной консоли длиной 1 м (рис. 7.3.3), выполненной из двутавра № 8, находится двигатель весом Р = 1230 Н.

Требуется определить частоты и периоды свободных колебаний системы – поперечных (изгибных) и продольных, пренебрегая собственным весом балки.

Решение. Изгибные колебания. Воспользуемся формулой (7.3.5) в виде   Здесь xst – прогиб конца консоли, нагруженной сосредоточенной силой Р. Воспользуемся известной в сопротивлении материалов формулой для этого прогиба 

В таком случае круговая частота изгибных колебаний

Период свободных изгибных колебаний равен

Продольные колебания. В этом случае xst – продольное перемещение свободного торца консоли, нагруженной осевой сосредоточенной сжимающей силой Р = 1230 Н. Это перемещение равно продольной абсолютной деформации стержня, которая рассчитывается по формуле:

В таком случае круговая частота продольных свободных колебаний балки равна

Рассчитываем период продольных свободных колебаний балки

Задача 7.3.2. Определить круговую частоту вертикальных симметричных колебаний кузова тележки общим весом Р= 80 кН, укрепленного на двух осях с помощью четырех рессор, каждая из которых имеет жесткость с1 = 2·105 Н/м. Расчетная схема конструкции представлена на рис. 7.3.4.

Решение. Воспользуемся формулой (7.2.5) в виде  и учтем, что в нашем случае параллельное соединение упругих связей, когда жесткости просто складываются, т.е. с = 4с1; кроме того, Р = mg. Таким образом, получаем следующее выражение для круговой частоты свободных колебаний системы:

Задача 7.3.3. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной дюралюминиевой балки круглого сечения и длиной 0,1 м, несущей на конце сосредоточенный груз Р = 70 Н. Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, площадь поперечного сечения балки А = 5·10–6 м2 (рис. 7.3.5).

Ответ: ω = 7,65 с–1; Т = 0,82 с.

Задача 7.3.4. Вычислить круговую частоту и период свободных продольных колебаний консольного дюралюминиевого стержня круглого сечения и длиной 0,1 м (рис.7.3.6), размещенного вертикально и несущего на конце сосредоточенный груз Р = 70 Н. Модуль продольной упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, площадь поперечного сечения стержня А = 5·10–6 м2.

Ответ: ω = 700 с–1 ; Т = 0, 009 с.

Задача 7.3.5. Вычислить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной стальной балки квадратного поперечного сечения со стороной а = 0,02 м и длиной 0,5 м (рис. 7.3.5), несущей на конце сосредоточенный груз весом Р = 160 Н. Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 62,8 с–1; Т = 0,1 с.

Задача 7.3.6. На невесомой балке (рис. 7.3.7) пролетом l = 5 м находится двигатель массой m = 2000 кг на расстоянии а = 2 м от левой опоры. Определить круговую частоту и период свободных колебаний системы, если сечение балки – двутавр № 24, модуль упругости материала балки Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 40 с–1; Т = 0,157 с.

Задача 7.3.7. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стержня круглого переменного сечения, к нижнему концу которого прикреплен груз весом Р = 40 кН (рис. 7.3.8). Диаметры по участкам равны: d1 = 0,02 м;  d2 = 0,03 м; d3 = 0,04 м. Длины участков l1 = 0,5 м; l2 = 0,75 м; l3 = 1,0 м. Весом стержня пренебречь. Модуль упругости материала балки Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 120 с–1; Т = 0,0523 с.

Задача 7.3.8. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стального стержня квадратного поперечного сечения со стороной а = 0,02 м и длиной 2 м, несущего на конце массу mг = 150 кг. Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа, плотность ρ = 7,75 г/см3 (рис. 7.3.9).

Решение. Как ранее отмечалось, в данном случае масса системы складывается из массы mг груза и приведенной к точке распределенной собственной массы стержня mo , т.е.

m = mг + αmо,

где mо = ρlA, α = 0,33.

Жесткость с найдем как силу, вызывающую единичную абсолютную деформацию стержня:

, поэтому

Далее используем формулу для расчета круговой частоты свободных колебаний

Рассчитываем период свободных колебаний

 Задача 7.3.9. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стального стержня с площадью поперечного сечения А = 0,008 м2 и длиной участков l1 = = 0,4 м, l2 = 0,6 м, несущего на конце массу mг = 200 кг (рис. 7.3.10). Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа, ее плотность ρ = 7,75 г/см3 . В расчете учесть собственную массу стержня.

У к а з а н и е. Учесть, что в данной системе имеет место параллельное соединение упругих связей.

Ответ: ω = 1744 с–1; Т = 0,0036 с.

 Задача 7.3.10. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной дюралюминиевой балки круглого поперечного сечения диаметром d = 5 см и длиной l = 2 м, несущей на конце сосредоточенную массу mг = 20 кг. Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, его плотность ρ= 2,8 г/см3 (рис. 7.3.11).

 В расчете учесть собственную массу балки.

Ответ: ω = 18,8 с–1; Т = 0,33 с.

Задача 7.3.11. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний однопролетной дюралюминиевой балки круглого поперечного сечения диаметром d = 5 см и длиной l = 2 м, несущей посередине сосредоточенную массу mг = 20 кг (рис. 7.3.12). Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, плотность ρ = 2,8 г/см3.

В расчете учесть собственную массу балки.

Ответ: ω = 71 с–1; Т = 0,088 с.

7.4. Вынужденные колебания систем

с одной степенью свободы

К вынужденным колебаниям приводит непрерывное воздействие на механическую систему внешней периодической силы, например, изменяющейся по гармоническому закону

 , (7.4.1)

где Р0 – амплитуда, т.е. максимальное значение возмущающей силы, W – круговая частота ее изменения.

Амплитуда вынужденных колебаний системы Авын рассчитывается по формуле

  (7.4.2)

где yst – перемещение y системы, которое вызвало бы статическое приложение максимального значения Р0 возмущающей силы;

  (7.4.3)

– коэффициент нарастания колебаний (без затухания).

В расчетах на прочность систем, совершающих вынужденные колебания, используют динамический коэффициент kd , определяемый по формуле

 (7.4.4)

где – статическое перемещение y системы, вызванное ее собственным весом Р = mg.

С учетом закона Гука условие прочности для системы, совершающей вынужденные колебания, записывается следующим образом

 (7.4.5)

Здесь – статическое напряжение, вызванное собственным весом системы.

Задача 7.4.1. На двух двутавровых балках № 12 посередине установлен двигатель весом Q = 7 кН (рис. 7.4.1). Неуравновешенные массы двигателя условно заменены вра-щающимся со скоростью

n = 550 об/мин

грузом Q2 = 120 Н, радиус вращения которого R = 0,21 м.

Проверить прочность балок, приняв их длину l = 1,6 м, модуль упругости материала балок Е = 2·105 МПа, расчетное сопротивление стали изгибу, растяжению по пределу текучести Ry = 220 МПа.

Коэффициент условий работы балок gс = 1 (табл.1.1).

Решение. 1. Выписываем из сортамента (таблица III, a приложения) геометрические характеристики поперечного сечения двутавровой балки и устанавливаем вес Q1 одной балки: момент инерции Iz = 350 см4, момент сопротивления Wz = 58,4 см3, масса 1 м двутавра № 12 q = 11,5 кг/м. Масса одной балки m1 = ql = 11,5·1,6 = 18,4 кг; вес Q1 одной балки

Q1 = mg » 184 H.

В дальнейшем расчет проводится для одной балки (из двух).

2. Рассчитаем собственную круговую частоту колебаний w системы, для чего воспользуемся формулой (7.3.5)

где yst – прогиб посередине балки, вызванный весом Q /2 и весом балки Q1.

Следует учесть, что при расчете собственной частоты балки, как системы с одной степенью свободы, в расчет вводится приведенная масса

m1,pr = am1 .

 Для балки на двух опорах коэффициент привидения a = 17/35 » 0,5.

При расчете yst можно использовать известную в теории изгиба балок формулу

  (7.4.6)

которая в данной задаче принимает вид

 Таким образом, частота собственных колебаний системы равна

3. Рассчитаем максимальное напряжение sst в среднем сечении балки, нагруженной статически приложенными силами Q /2 и Q1 = qlg,

4. Рассчитаем коэффициент нарастания колебаний b по формуле (7.4.3), установив предварительно величину частоты Ω возмущающей силы

 

5. Рассчитаем динамический коэффициент kd, используя формулу (7.4.4).

 Для этого по известным из теории изгиба балок формулам определим прогибы: yst(Q2) – прогиб посередине балки, от статической сосредоточенной силы Р0, равной силе инерции груза Q2 /2

,

т.е., применяя формулу (7.4.6), находим

yst(Q,Q1) = yst(Q) + yst(Q1) – прогиб посередине балки, нагруженной статической сосредоточенной силой Q /2 и равномерно распределенной нагрузкой q = Q1 / l

 Определим отношение прогибов

Рассчитываем динамический коэффициент

6. Проверяем выполнение условия прочности (7.4.5)

МПа < 220 МПа.

Ответ: число оборотов двигателя n = 550 об/мин является безопасным для прочности балок.

Задача 7.4.2. Используя условия предыдущей задачи (кроме числа оборотов n), установить безопасный по прочности балок режим работы двигателя, т.е. определить допускаемое число оборотов.

Решение. Используем из решения предыдущей задачи отношение прогибов   не подставляя в него численного значения частоты Ω возмущающей силы

 Запишем условие прочности (7.4.5)

Далее решаем неравенство

 откуда

или  

Возможны 2 случая:

1-й случай:

2-й случай:

Ответ: допускаемое по прочности балок число оборотов двигателя

об/мин.

Задача 7.4.3. Решить задачу 7.4.2 при условии, что груз Q2 имеет величину Q2 = 60 Н.

Ответ: границы рабочих диапазонов: 

 n £ 1165 об/мин; n ³ 2035 об/мин.

Задача 7.4.4. Для условий задачи 7.4.1 установить зону числа оборотов двигателя, запретных из-за резонанса.

У к а з а н и е

 Зона резонансного состояния определяется соотношением

где w – собственная круговая частота колебаний системы.

Ответ: границы зоны резонанса:

nнижн = 1000 об/мин; nверх = 1860 об/мин.

Второй способ расчета статически неопределимых стержневых систем носит название расчета по предельному пластическому состоянию. Благодаря наличию лишних стержней в статически неопределимой системе, наступление состояния текучести в одном (наиболее напряженном) стержне еще не приводит к нарушению геометрической неизменяемости всей конструкции. Остальные стержни, оставаясь упругими, препятствуют пластическим деформациям этого стержня. Конструкция продолжает выполнять свое назначение, перейдя из упругой стадии работы в упругопластическую. При увеличении нагрузки в пластическую стадию работы вовлекаются все новые стержни. И только тогда, когда в системе потекут все лишние стержни и хотя бы один необходимый, конструкция превращается в механизм и не может выполнять свои функции. Это состояние и считается предельным при расчете по предельному пластическому состоянию. Таким образом, расчет по предельному пластическому состоянию сводится к следующему:

1) определяем, сколько стержней должно потечь, чтобы конструкция превратилась в механизм. Дальнейший расчет возможен по двум вариантам:

- если в предельном состоянии текут все стержни системы, то, составляя уравнения равновесия конструкции в предельном состоянии, находим из него значение предельной нагрузки ;

- если в предельном состоянии течет только часть стержней, то, не определяя порядка перехода стержней в пластическое состояние, рассматриваем все кинематически возможные варианты предельного состояния конструкции. Находим из уравнений равновесия предельную нагрузку для каждого варианта. Выбираем из всех вариантов минимальное значение предельной нагрузки ;

2) из условия прочности конструкции по предельному состоянию либо вычисляем допускаемую нагрузку, либо подбираем сечения стержней.

Отметим, что расчет по предельному пластическому состоянию является более экономичным, чем расчет по упругой стадии деформаций. Поэтому при сравнении результатов расчета по двум способам должно получиться, что допускаемая нагрузка, найденная расчетом по предельному пластическому состоянию, всегда не меньше нагрузки, полученной расчетом по упругой стадии деформации. Соответственно площади сечений стержней, найденные расчетом по предельному состоянию, должны быть не больше площадей сечений, полученных расчетом по упругой стадии деформаций.


Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика