Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Расчет на устойчивость систем с одной или двумя степенями свободы при помощи уравнений равновесия

 Задача 6.3.1. Два бесконечно жестких стержня связаны между собой шарниром (рис. 6.3.1) и оперты на упругие пружины, жесткость которых равна k. Определить критическое значение сжимающей силы.

 Решение. Решим поставленную задачу статическим методом при помощи уравнений равновесия для отклоненного состояния. Для этого рассмотрим систему, показанную на рис. 6.3.1 в отклоненном состоянии, т.е. после потери устойчивости. В отклоненном состоянии на упругих опорах возникнут опорные реакции Ra = ka1 и Rb = ka2, где k – жесткость упругих связей (пружин), равная силе, вызывающей единицу деформации упругой связи (пружины). Будем считать, что k – известная величина. Составим условие равновесия моментов относительно точки О:

,

а после подстановки в полученное выражение значений опорных реакций Ra и Rb получим

 . (6.3.1)

 Составим также условие равенства момента нулю в шарнире А/ в отклоненном состоянии:, а после подстановки в полученное выражение значения опорной реакции Rb получим

 . (6.3.2)

 Таким образом, имеем систему двух уравнений (6.3.1), (6.3.2) с двумя неизвестными геометрическими параметрами а1 и а2. Полученная система содержит два однородных уравнения и, следовательно, определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных а1 и а2, должен быть равен нулю: 

Раскрывая определитель, получим уравнение второй степени 

решения которого имеют вид:  откуда находим два значения критической силы: Fcr,1 = 0,38kl и Fcr,2 = 2,63kl. Окончательно принимаем Fcr = 0,38kl как наименьшую критическую силу, вызывающую потерю устойчивости.

 Задача 6.3.2. Определить значения критических сил для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.2. Жесткости верхней и нижней упругих связей (пружин) равны k.

 Ответ: Fcr,1 = kl/2; Fcr,2 = .

 Задача 6.3.3. Определить критическую силу для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.3.

 Ответ: Fcr = kl.

 Задача 6.3.4. Определить критическую силу для абсолютно жесткой системы, показанной на рис. 6.3.4.

 Ответ: Fcr = 2kl.

 Задача 6.3.5. Определить значения критических сил в системе, представленной на рис. 6.3.5. Эле-менты системы – абсолютно жесткие. Жесткость связей равна k.

 Ответ: Fcr,1 = kl/3; Fcr,2 = kl.


Задача 6.3.6. Определить критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.6. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl/2.

 Задача 6.3.7. Определить критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.7. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl2/h.

Определение критических сил при помощи

энергетического метода

 Энергетический метод основан на использовании теоремы Лагранжа – Дирехле о полной потенциальной энергии.

 Рассмотрим порядок расчета для энергетического метода:

 1. Задаются уравнением новой формы равновесия в виде одного или нескольких членов ряда, удовлетворяющих краевым условиям:

 При выборе функции у кинематические граничные условия (прогибы, углы поворота) должны быть удовлетворены обязательно. Статическим граничным условиям (изгибающим моментам, поперечным силам) удовлетворять не обязательно, однако для получения более точных результатов – крайне желательно. Имеются специальные таблицы для выбора уравнений криволинейной формы равновесия стержня, потерявшего устойчивость. Например, в табл.6.4.1 приведены данные для трех видов стержней.

Таблица 6.4.1

Схема

стойки

Нижний (левый) конец

Верхний (правый) конец

Уравнение криволинейной формы равновесия прямых стержней

y(0)

y/(0)

y(l)

y/(l)

0

0

-

-

0

-

0

-

Fcr

 

0

-

0

-

 2. Вычисляем полную потенциальную энергию П системы при переходе из новой формы равновесия в первоначальную:

(6.4.1)

где rii – жесткость упругой связи, Н/м; ai – линейная деформация (удлинение или укорочение) упругой связи, Fcr,k – неизвестное значение критической силы и – перемещение, на котором критическая сила Fcr,k совершает работу.

 Принимая во внимание дифференциальное уравнение упругой оси балки   и выражение , формулу (6.4.1) можно представить в виде:

  (6.4.2)

 3. Определяем экстремальное значение потенциальной энергии из уравнений: 

 4. Приравнивая детерминант из коэффициентов при параметрах an нулю, определяем критические силы, число которых равно числу параметров an. Если используется точное выражение ординаты у искривленной оси, то получим точное значение критической силы. В основном критические силы получаются несколько завышенными.

 Задача 6.4.1. Определить критическую силу для прямого стержня, находящегося в упругой среде с коэффициентом податливости, равным k (рис. 6.4.1).

 Решение. Уравнение криволинейной формы равновесия прямого стержня берем из табл. 6.4.1 в виде:

.

 Для вычисления полной потенциальной энергии по формуле (6.4.2) предварительно необходимо вычислить  и

а затем

  и

 Подставляя полученные значения в формулу (6.4.2), находим

 Из последнего выражения определяем

,

где m – число полуволн при потере устойчивости. Значение m, при котором Fcr равна минимальному значению, зависит от коэффициента податливости k упругого основания (Н/м2). При малом k можно принять m = 1.

 Продолжим исследование и предположим, что  тогда

 откуда

 Таким образом, если  то необходимо принимать m = 1,

если , то m > 1.

 Задача 6.4.2. Определить значение критической силы при помощи энергетического метода для абсолютно жесткой системы, изображенной на рис. 6.4.2. Жесткость двух упругих связей – одинакова и обозначена через k.

 Решение. Пусть система потеряла устойчивость и заняла новое положение. Так как стержни – абсолютно жесткие, то они не будут изгибаться, а останутся прямыми. В результате потери устойчивости на упругих опорах возникнут опорные реакции R = ka, где а – вертикальное отклонение концов горизонтального участка системы. На такое же расстояние а переместится в горизонтальном направлении верхний конец системы вместе с критической силой Fcr, а в вертикальном направлении перемещение верхнего конца системы составит (рис. 5.3.2)

 Кроме того, имеем, что  откуда  Тогда формула (6.4.1) примет вид:

 

 Из последнего выражения определяем

 Задача 6.4.3. Определить при помощи энергетического метода критическую силу для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.3. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl.

 Задача 6.4.4. Определить энергетическим методом критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.7. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl2/h.

 Задача 6.4.5. Определить энергетическим методом критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.6. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl/2.

 Задача 6.4.6. Определить энергетическим методом критическую силу для сжатого прямого стержня, один конец которого жестко заделан, а другой свободен. Длина стержня – l. Жесткость на изгиб в обоих направлениях поперечного сечения равна EI.

 У к а з а н и е

 Уравнение криволинейной формы равновесия рассчитываемого стержня взять из табл. 6.4.1.

 Ответ: .

 Задача 6.4.7. Определить энергетическим методом значения критических сил для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.2. Жесткости верхней и нижней упругих связей (пружин) равны k.

 Ответ: Fcr,1 = kl/2; Fcr,2 =.

 Задача 6.4.8. Два бесконечно жестких стержня связаны между собой шарниром (рис. 6.3.1) и оперты на упругие пружины, жесткость которых равна k. Определить критическое значение сжимающей силы с применением формулы для потенциальной энергии (6.4.1).

 Ответ: Fcr,1 = 0,38kl ; Fcr,2 = 2,63kl.

Пример.

Пусть имеется стержень постоянного поперечного сечения, нагруженный силами 2Р и 3Р вдоль продольной оси стержня, показанный на рис.2.3. Определить величину внутренних сил.

image003

Рис.2.3

Решение.

Стержень может быть разделен на два участка, граничными точками которых являются точки приложения сосредоточенных сил и точка закрепления. Если начало координат расположить на правом конце стержня, а ось z направить справа налево, то, используя метод сечений, рассекая последовательно участки, отбрасывая левую часть, заменяя ее действие внутренними усилиями N, Qy, Mx и уравновешивая оставшуюся часть, получим:

I участок: image005

image007, image009;

, ;

,

Как видно, при растяжении в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор - нормальная сила N.

II участок: image021

image023, .

Таким образом, нормальная сила равна алгебраической сумме проекций сил, приложенных к отсеченной части на продольную ось .

Полученные результаты для большей наглядности удобно представить в виде графика, (эпюры N), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня (рис.2.3). Построим на первом участке линию параллельную оси z на высоте 2Р, на втором участке – линию со значением -Р. Области ограниченные графиком и осью z принято штриховать и обозначать знак этой области. Видно, что наибольшая продольная сила возникает на первом участке стержня и, как следствие, при прочих равных условиях, он скорее может разрушиться, чем второй участок.


Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика