Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Сложным сопротивлением называют различные комбинации простых сопротивлений бруса – растяжения или сжатия, сдвига, кручения и изгиба. При этом на основании известного принципа независимости действия сил напряжения и деформации при сложном сопротивлении определяют суммированием напряжений и деформаций, вызванных каждым внутренним усилием, взятым в отдельности.

Из большого числа возможных видов сложного сопротивления бруса на практике наиболее распространены косой изгиб, внецентренное растяжение или сжатие и изгиб с кручением.

Косой изгиб

Изгиб, при котором внешние нагрузки, перпендикулярные оси балки, действуют в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей x,y и x,z, называют косым изгибом (рис. 5.1.1).

 Обычно внешнюю нагрузку, вызывающую косой изгиб, раскладывают на две составляющие по главным плоскостям, каждая из которых приводит к плоскому поперечному изгибу в своей плоскости. Таким образом, косой изгиб является сочетанием двух плоских поперечных изгибов, каждый из которых происходит в своей главной плоскости. 

 Нормальные напряжения, вызванные действием изгибающих моментов My и Mz в главных плоскостях и направленные перпендикулярно плоскости поперечного сечения балки, складываются алгебраически, т. е.

  (5.1.1)

В формуле (5.1.1) знак «плюс» присваивается растягивающим напряжениям, знак «минус» – сжимающим, а величины изгибающих моментов берутся по модулю.

 Условия прочности для наиболее удаленных от осей y и z опасных точек сечения имеют вид

   (5.1.2) 

где (как и в гл.4) Wy,t и Wz,t – моменты сопротивления относительно осей y и z – для растянутых волокон; Wy,с и Wz,с – то же для сжатых волокон; Rt и Rc – расчетные сопротивления материала растяжению и сжатию соответственно; γс – коэффициент условий работы, принимаемый по табл. 1.1.

Условия прочности (5.1.2) позволяют решать три основных типа задач: проверочный расчет, подбор сечений балок и установление допускаемых внешних нагрузок. Например, задача о подборе сечения балки, испытывающей косой изгиб, решается на основе условий (5.1.2) при заданном или определенном сортаментом соотношении осевых моментов сопротивления Wz / Wy .

где R – наименьшее из расчетных сопротивлений Rt и Rc.

Условия прочности (5.1.2) относятся к опасным точкам таких сечений, как прямоугольник, двутавр, швеллер и т.п. (угловые точки). Для сечений произвольной формы опасные точки – это точки, наиболее удаленные от нейтральной оси. Для этих точек (с координатами ) условия прочности имеют вид

   (5.1.3)

Положение нейтральной оси при косом изгибе определяется тангенсом угла наклона β (рис. 5.1.2) к главной оси z:

Касательные напряжения при косом изгибе рассчитываются по формуле

  (5.1.4)

являющейся естественным обобщением формулы (4.2.6).

Перемещения при косом изгибе определяют по принципу независимости действия сил, т.е. рассчитывают прогибы wy и wz в направлении главных осей, а величину полного прогиба получают геометрическим суммированием:

Направление полного перемещения определяется отношением wz / wy :

  (5.1.5)

причем угол φ лежит в той же четверти, что и угол α (рис. 5.1.2).

Задача 5.1.1. Для консольной двутавровой балки, загруженной горизонтальной силой F1 = 0,56 кН и вертикальной силой F2 = 5,84 кН (рис. 5.1.3), построить эпюру нормальных напряжений в защемлении и найти максимальное нормальное напряжение σmax.

Решение. Нормальные напряжения определяем по формуле (5.1.1). Подсчитаем вначале величины изгибающих моментов в защемлении (по модулю):

My == 560 H·м;

Mz == 2920 H·м.

При этом момент Mz растягивает верхние волокна и сжимает нижние, а момент My растягивает левые волокна и сжимает правые.

Моменты инерции сечения, состоящего из прямоугольников, относительно осей  z и y равны:

Iz = 116,67 см4 =

 Iy = 29,5 см4 =.

Для построения эпюры нормальных напряжений вычисляем напряжения в угловых точках a, b, c, d (рис. 5.1.3, б). В точке а оба момента Mz и My вызывают растяжение, поэтому напряжение имеет величину:

 В точке b момент Mz вызывает растяжение, а My – сжатие, поэтому

В точке с момент Mz вызывает сжатие, а My – растяжение, поэтому

В точке d оба момента Mz и My вызывают сжатие, поэтому

Определив напряжения в угловых точках и зная, что нормальные напряжения изменяются по закону плоскости, строим эпюру σ (рис. 5.1.4). Из эпюры видно, что наибольшее нормальное напряжение σmax = 138 МПа.

 Задача 5.1.2. Для стальной балки, лежащей на двух опорах и нагруженной силой F = 60 кН, лежащей в плоскости zy и составляющей угол α = 30o с вертикальной осью y (рис. 5. 1.5), подобрать прямоугольное сечение при условии, что h = 2b, Ry = 160 МПа, γс = 1.

 Решение. Разложив силу на две составляющие по главным осям сечения балки, определим опорные реакции, действующие в главных плоскостях, и построим эпюры изгибающих моментов Mz и My, рис. 5.1.6, а.

Наибольшие моменты действуют в среднем сечении, где

В этом сечении наибольшие нормальные напряжения возникают в точках а (растяжение) и b (сжатие), рис. 5.1.6, б. Для них условие прочности запишется так:

 

Вычисляем моменты сопротивления Wz и Wy при заданном соотношении высоты h и ширины b:

Подставляем в условие прочности значения Mz , My , Wz и Wy. В итоге получим

,

откуда

 Задача 5.1.3. Для балки, лежащей на двух опорах и загруженной тремя вертикальными сосредоточенными силами F1 = F3 = 10 кН, F2 = 20 кН и равномерно распределенной горизонтальной нагрузкой q = 24кН/м, требуется подобрать прямоугольное поперечное сечение с отношением сторон

h = 1,5b. Пролет балки равен 1 м, Ry = =150 МПа, γс = 1 (рис. 5.1.7).

 Ответ: b = 6 см, h = 9 см. 

 Задача 5.1.4. Балка прямоугольного поперечного сечения b×h = =0,18м×0,24м нагружена так, как показано на рис. 5.1.8. Найти наибольшее нормальное напряжение, если сила F = 60 кН, пролет балки l = 3 м, угол между линией действия силы F и вертикальной осью α = 30o.

 Ответ: σmax = 35,5 МПа.

 Задача 5.1.5. Определить наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения в балке пролетом 2 м, опирающейся на шарнирные подвижную и неподвижную опоры и несущую посередине пролета сосредоточенный груз F = 6кН. Сечение балки с прямоугольным отверстием показано на рис. 5.1.9.

 У к а з а н и е

 Вначале необходимо определить положение нейтральной оси.

 Ответ: σmax = 35,1 МПа.


Задача 5.1.6. Балка прямоугольного сечения изгибается моментом М = =10кН·м (рис. 5.1.10). Найти точки с наибольшими нормальными напряжениями и вычислить эти напряжения.

Ответ: σmax = σ(a) = 7,15 МПа; σmin = σ(c) = –7,15 МПа.

 Задача 5.1.7. Балка двутаврового сечения № 20 свободно опирается на прогоны, наклоненные под углом 30о к горизонтали (рис. 5.1.11). Расстояние между осями прогонов 4 м. Балка посередине нагружена вертикальной сосредоточенной силой F = 8 кН. Пренебрегая собственным весом балки, определить напряжения в точках a, b, c, d и угол наклона β нейтральной оси сечения балки к главной оси z.

Ответ: σ(a) = –210,9 МПа; σ(b) = –135,5 МПа; σ(c) = 210,9 МПа;

 σ(d) = 135,5 МПа; β = 83 о48/.

 Задача 5.1.8. Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения длиной l = 2 м изгибается силой F = 8 кН, приложенной к ее свободному концу (рис. 5.1.12).

Пренебрегая собственным весом балки, подобрать номер двутаврового профиля и определить прогиб свободного конца, если

α = 30o, Ry = 140 МПа, γс = 1

и модуль упругости Е = 2·105 МПа.

 У к а з а н и е. Для двутаврового сечения при предварительном подборе принимают Wy / Wz = 8–10.

 Ответ: двутавр № 36; прогиб w = 1,03 см.

Задача 5.1.9. Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения (двутавр № 24) длиной 1 м загружена сосредоточенной вертикальной силой F = 40 кН. Найти максимальное нормальное напряжение в балке и вычислить прогиб конца консоли, если модуль упругости Е =МПа.

Определить, как изменятся напряжения и прогиб балки, если сила F отклонится от вертикали на угол α = 5о.

Ответ: при прямом изгибе σmax = 138,5 МПа; w = 0,193 см; при косом изгибе напряжения и прогиб возрастают в 1,7 раза.

Задача 5.1.10. При установлении опоры двутавра № 60 была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол равный 1о.

Определить связанное с этим увеличение нормальных напряжений и полного прогиба двутавра.

Ответ: напряжения увеличились на 20%, полный прогиб на 30%.

Испытание пластмасс производится в основном на растяжение. Образцы для опытов формуются или штампуются. Только при использовании волокнистых или слоистых пластмасс они вытачиваются. Диаграммы термопластов, получающих в процессе формования обратимые свойства, напоминают диаграммы пластичных материалов. Диаграммы реактопластов, при отвердении получивших необратимые свойства, ближе к диаграммам хрупких материалов. Реактопласты обладают более высокой прочностью и жесткостью. Свойства пластмасс в значительной степени зависят от наполнителей.

Ocr0194

Рис.1.16

На практике часто возникает необходимость оценить механические свойства не материала, а готовой детали. При изготовлении детали свойства материала могут значительно измениться, например, после термообработки. Так как вырезать из детали образец для испытаний, как правило, невозможно, используют косвенный способ оценки предела прочности материала детали по его твердости.

Под твердостью материала понимают его способность оказывать сопротивление проникновению в него другого, более твердого тела – индентора. Метод испытания на твердость относится к неразрушающим методам контроля материала. Для целого ряда материалов установлена корреляционная связь твердости с прочностью, поэтому на практике для определения предела прочности пользуются определением числа твердости, что в ряде случаев имеет свои преимущества. Они могут быть использоваться вне лаборатории. Просто, легко и быстро, без повреждения детали (конструкции), даже с многократной повторностью можно определить твердость, а по ней прочность. И хотя характеристики твердости не используются непосредственно при расчете конструкций, они нашли широкое применение для оценки свойств материала.

Для определения твердости металлов используют несколько способов испытания. Наибольшее применение получили методы определения твердости по Бринеллю (), Роквеллу () и Виккерсу (). Во всех случаях о величине твердости судят по величине полученного отпечатка. Различие заключается в виде используемого индентора и уровня прикладываемой к нему нагрузки. Выбор метода часто определяется твердостью испытываемого материала. В испытаниях по Бринеллю в поверхность испытываемой детали вдавливается стальной шарик. Число твердости равно отношению силы вдавливания шарика к площади поверхности полученного отпечатка (рис.1.17). При определении твердости стали используется закаленный шарик диаметром =10 мм при силе =30 кН.

. (1.14)

Ocr0195

Рис.1.17

Метод Бринелля применяется для металлов и сплавов, твердость которых не превышает 450 единиц. При большей твердости испытываемого материала наблюдается деформация индентора (шарика), что приводит к искажению получаемых результатов. Для сталей существует связь между числом твердости и временным сопротивлением, выражаемая следующим образом:

. (1.15)

Аналогичная пропорциональная связь существует и для цветных металлов.


Расчеты на растяжение и сжатие