Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Простейшие статически неопределимые балки

 Статически неопределимой балкой называется такая балка, для определения опорных реакций которой недостаточно одних только уравнений равновесия.

 Будем рассматривать один раз статически неопределимые балки, т.е. балки, для определения опорных реакций которых необходимо привлечь одно дополнительное уравнение. Это уравнение имеет вид

  (4.7.1)

где Х1 – одна из неизвестных опорных реакций; – перемещение от единичной силы в направлении отброшенной опорной реакции Х1; – перемещение в направлении отброшенной опорной реакции Х1 от внешней нагрузки.

 Уравнение (4.7.1) выражает условие равенства нулю смещения поперечного сечения заданной балки в направлении искомой опорной реакции.

 Задача 4.7.1. Построить эпюру изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетной балки, показанной на рис. 4.7.1, а.

 Решение. Для определения опорных реакций H, RA, RB, MA составим уравнения равновесия: откуда H = 0, далее

 тогда  

тогда

 Для определения трех опорных реакций МА, RВ, RА имеем систему двух уравнений. Таким образом, задача является статически неопределимой. Для ее решения необходимо привлечь одно дополнительное уравнение (4.7.1). Отбросим одну лишнюю опорную реакцию RВ = Х1. В результате получим консольную балку, показанную на рис. 4.7.1, б. Для этой полученной консольной балки строим эпюру изгибающих моментов МF от внешней нагрузки.

 Для определения вертикального смещения  точки В построим эпюру изгибающих моментов   от единичной силы, приложенной в направлении отброшенной опорной реакции RB (рис. 4.7.1, в). Затем, используя правило Верещагина, находим перемещение:


 Для определения перемещения  необходимо умножить по правилу Верещагина эпюру   саму на себя:

 Подставим полученные результаты в формулу (4.7.1):

откуда

 Из полученных ранее выражений определяем остальные опорные реакции:

 

 Положительные значения опорных реакций показывают, что выбранные нами предварительно их направления правильны (рис. 4.7.1, а). Отрицательные значения показывают, что выбранные предварительно направления опорных реакций необходимо заменить на противоположные.

 Проводим сечение I – I и отбрасываем мысленно левую часть, тогда

 тогда .

 Экстремальное значение изгибающего момента в пролете будет в сечении, где поперечная сила равна нулю, т.е. на расстоянии х = 3l/8 от правой опоры:

.

 Затем строим эпюру поперечных сил:

QA = RA = 5ql/8; QB = –RB = –3ql/8.

 Задача 4.7.2. Определить опорные реакции однопролетной балки, показанной на рис. 4.7.2.

 Ответ: H = 0, RB = –3m/(2l), RA = 3m/(2l);

 MA = –m/2.

 Задача 4.7.3. Определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q для балки с консолью (рис. 4.7.3). Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EI.

 Ответ: H = 0; RB = 35 кН, RA = –15 кН; МА = 20 кН·м, МС = 0;

 МВ = –40 кН·м; QАВ = –15 кН, QВС = 20 кН.


Задача 4.7.4. Построить эпюру изгибающих моментов и поперечных сил для двухпролетной балки, показанной на рис. 4.7.4, а.

 Решение. Для определения опорных реакций RA, RB, RC составим уравнения равновесия:

откуда RC = 0,25F – 0,5RB;

 откуда RA = 0,75F – 0,5RB.

 Для определения трех опорных реакций RA, RB, RC имеем систему двух уравнений. Привлекаем дополнительное условие (4.7.1). Отбросим одну лишнюю опорную реакцию RB = Х1. В результате получим однопролетную балку, показанную на рис. 4.7.4, б. Для полученной однопролетной балки строим эпюру изгибающих моментов МF от внешней силы F. Предварительно находим откуда Rc = 0,25F. Далее записываем откуда определяем Ra = 0,75F.

 Для построения эпюры МF достаточно определить изгибающие моменты в трех точках (рис. 4.7.4, б): Ma = Mc = 0; Md = = 0,375Fl.

 Для определения прогиба  в точке В построим эпюру изгибающих моментов  от единичной силы, приложенной в направлении отброшенной опорной реакции RB (рис. 4.7.4, в). Используя правило Верещагина, вычисляем интеграл Мора (4.6.1). Разбиваем эпюры МF и на три участка так, чтобы в пределах одного участка не было переломов эпюр. Перемножаем последовательно участки:

 Для определения перемещения  необходимо умножить по правилу Верещагина эпюру саму на себя:

 Подставляя полученные результаты в формулу (4.7.1), находим

 Из полученных ранее выражений вычисляем остальные опорные реакции: 

RC = 0,25F – 0,5RB = 0,25F –  –0,09375F;

 RA = 0,75F – 0,5RB = 0,75F –0,40625F.

 Положительные значения опорных реакций показывают, что предварительно выбранные их направления правильны (рис. 4.7.4, а), а отрицательные значения показывают, что выбранные без расчета направления опорных реакций необходимо заменить на противоположные, как, например, у опорной реакции RC.

 Зная опорные реакции, легко построить эпюру изгибающих моментов М (рис. 4.7.4, г):

MA = MC = 0; MD = RA 0,5l = 0,203125Fl; MB = RCl = –0,09375Fl,

а также эпюру поперечных сил Q:

QAB = RA; QDB = RA – F = 0,59375F; QBC = –RC = 0,09375F.

 Задача 4.7.5. Определить опорные реакции, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для двухпролетной балки, изображенной на рис. 4.7.5. Принять, что F1 = F.

 Ответ: RA = 0,3125F; RB = 1,375F; RC = RA; MK = MD; MA = MC = 0;

 MD = 0,15625Fl; MB = –0,1875Fl; QAD = RA; QDB = –0,6875F;

 QBK = –QDB; QKC = –RC.

 Задача 4.7.6. Определить опорные реакции двухпролетной балки, показанной на рис. 4.7.5. Принять F1 = 2F.

 Ответ: RA = 0,21875F; RB = 2,0625F;

 RC = 0,71875F.

 Задача 4.7.7. Определить опорные реакции, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для двухпролетной балки, нагруженной на опоре С сосредоточенным моментом m (рис. 4.7.6).

 Ответ: RA = –m/(4l); RB = 3m/(2l); RC = 5m/(4l).

 Задача 4.7.8. Определить опорные реакции для один раз статически неопределимой балки, показанной на рис. 4.7.7.


Ответ: RA = 11F/16; RB = 5F/16; MA = 3Fl/8.

 Задача 4.7.9. Определить опорные реакции, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для двухпролетной балки с консолью (рис. 4.7.8).

 Ответ: RA = 0,53125F; RB = –0,0625F; RC = 1,53125F.

 Задача 4.7.10. На рис. 4.2.2 изображена однопролетная балка и соответствующие эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q. Как изменятся эпюры М и Q, если поставить дополнительно в точке D шарнирно подвижную опору.

 Ответ: RA = RB =1,5625 кН; RD = 12,875 кН; МС = МЕ = 1,5625 кН·м; МD = –1,875 кН·м; QАС = RА; QCD = –3,4375 кН; QDE = –QCD; QЕВ = –RВ.

 Задача 4.7.11. На рис. 4.2.4 изображена консольная балка, нагруженная двумя сосредоточенными силами. Во сколько раз уменьшится максимальный изгибающий момент (на опоре В), если поставить дополнительно в точке А шарнирно подвижную опору?

 Ответ: уменьшится в 8 раз.

Деформации и перемещения. Закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим - свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 2.8). До нагружения стержня его длина равнялась - после нагружения она стала равной (рис. 2.8). Величину называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.8

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых условиях, деформация остается одной и той же по длине стержня и равной

.                                              (2.4)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряженное состояние, то для определения его абсолютного удлинения необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.8). При растяжении он увеличит свою длину на величину и его деформация составит:

.                                           (2.5)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации ):

.                                             (2.6)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Из совместного рассмотрения уравнений (2.5) и (2.6) получим:

,

откуда с учетом того, что

и ,

окончательно получим:

.                                     (2.7)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного материала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.7) получим

.                                          (2.8)

Зависимость (2.8) также выражает закон Гука. Знаменатель EA называется жесткостью при растяжении - сжатии или продольной жесткостью.

При решении многих практических задач возникает необходимость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механических нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные температурным воздействием. В этом случае пользуются принципом независимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

,                                       (2.9)

где - коэффициент температурного расширения материала; t -перепад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

.                                 (2.10)

Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, составляющей угол с плоскостью нормального сечения (рис. 2.10, а).

Из условия , записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.10, б), получим:

,                             (2.19)

где A - площадь поперечного сечения стержня, - площадь наклонного сечения. Из (2.19) легко установить:

.                (2.20)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке (рис. 2.10, в), с учетом (2.20) получим:

; .        (2.21)

                                    Рис. 2.10

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При из (2.21) следует, что , . При , т.е. на продольных площадках, . Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения принимают наибольшие значения при , и их величина составляет . Важно отметить, что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.


Расчеты на растяжение и сжатие