Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Определение перемещений при помощи интеграла Мора

 Формула для определения перемещений, называемая интегралом Мора, имеет вид

  (4.6.1)

 Для вычисления линейного перемещения в произвольной точке балки с помощью формулы (4.6.1) необходимо выполнить последовательно следующие операции:

составить уравнения изгибающих моментов М от заданной нагрузки для каждого участка балки;

к рассматриваемой балке приложить силу, равную единице, в той точке, где определяется перемещение. Единичная сила прикладывается по предполагаемому направлению этого перемещения;

составить уравнения изгибающих моментов от единичной силы для каждого участка балки;

вычислить сумму интегралов (4.6.1) от произведения обоих моментов М и, деленного на жесткость поперечного сечения балки (EI).

 Для вычисления угла поворота поперечного сечения к рассматриваемой балке следует приложить единичный сосредоточенный момент, а затем составлять уравнения изгибающих моментов.

 По способу (правилу) Верещагина операция интегрирования (4.6.1) заменяется перемножением площади первой эпюры М на ординату второй эпюры   под центром тяжести первой.

 У к а з а н и я

 1. Произведение площади одной эпюры на ординату другой считается положительным, если площадь и ордината расположены по одну сторону от оси балки.

 2. Если в пределах рассматриваемого участка обе эпюры (М и) линейны, то безразлично площадь какой эпюры брать, а на какой эпюре – ординату.

 3. Если одна из эпюр (М) криволинейна, а вторая – ломаная, следует разбить вторую эпюру () на отдельные участки, в пределах которых она линейна.

 4. Если обе эпюры ломаные и границы участков у них не совпадают, то надо разбить обе эти эпюры на одинаковое число линейных участков, чтобы в пределах этих полученных участков обе эпюры были линейные и границы участков совпадали.

 5. Для перемножения двух трапециевидных эпюр (рис. 4.6.1) удобно использовать формулу

  (4.6.2)

 6. На рис. 4.6.2 приведены значения площадей некоторых нелинейных эпюр и координаты их центров тяжести. Этими данными необходимо пользоваться, если балка загружена равномерно распределенной по длине нагрузкой или треугольной распределенной нагрузкой.

7. Если значение перемещения  получилось со знаком минус, то это указывает, что реальное перемещение рассматриваемой точки противоположно выбранному направлению единичной силы.

 Эпюру изгибающих моментов М от заданной нагрузки обычно называют грузовой, а эпюру – единичной.

 Задача 4.6.1. Определить вертикальное перемещение точки В консольной балки, изображенной на рис. 4.6.3.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней сосредоточенной силы F: МВ = 0, МА = –F2l (эпюра линейная).


По условию задачи требуется определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, поэтому строим единичную эпюру  от действия вертикальной единичной силы Fi = 1, приложенной в точке В.

 Учитывая, что консольная балка состоит из двух участков с разной жесткостью на изгиб, эпюры и М перемножаем с помощью правила Верещагина по участкам отдельно. Эпюры М ипервого участка перемножаем по формуле (4.6.2), а эпюры второго участка – как площадь эпюры М второго участка Fl2/2 на ординату 2l/3 эпюры  второго участка под центром тяжести треугольной эпюры М этого же участка.

 В этом случае формула (4.6.1) дает:

 Задача 4.6.2. Определить вертикальное перемещение точки В однопролетной балки, изображенной на рис. 4.6.4. Балка имеет постоянную по всей длине жесткость на изгиб EI.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней распределенной нагрузки: МА = 0; MD = 0;

.

 Прикладываем в точке В единичную вертикальную силу Fi = 1 и строим эпюру (рис. 4.6.4):

откуда

Ra = 2/3;  откуда Rd = 1/3, поэтому Ma = 0; Md = 0; .

 Разделим рассматриваемую балку на 3 участка. Перемножение эпюр 1-го и 3-го участков не вызывает трудностей, так как перемножаем треугольные эпюры. Для того чтобы применить правило Верещагина ко 2-му участку, разобьем эпюру М 2-го участка на две составляющие эпюры: прямоугольную и параболическую с площадью (рис. 4.6.2). Центр тяжести параболической части эпюры М лежим посередине 2-го участка.


Таким образом, формула (4.6.1) при использовании правила Верещагина дает:

 Задача 4.6.3. Определить вертикальное перемещение уА точки А консольной балки, изображенной на рис. 4.2.4.

 Ответ: yA = 224Fl3/(Ed 4).

 Задача 4.6.4. Определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m на конце консоли (рис. 4.4.4). Балка имеет постоянную по длине жесткость на изгиб EIz.

 Ответ: yB = ml2/(2EIz).

 Задача 4.6.5. Определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q и с постоянной жесткостью на изгиб EIz (рис. 4.4.5).

 Ответ: yB = ql4/(8EIz).

 Задача 4.6.6. Определить вертикальное перемещение уВ точки В однопролетной балки, изображенной на рис. 4.2.3. Балка – прямоугольного поперечного сечения  .

 Ответ: yB = Fl3/(4bh3E).

Задача 4.6.7. Определить вертикальное перемещение уС точки С однопролетной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI (рис. 4.1.17).

 У к а з а н и е. Необходимо учитывать изменение знака в эпюре изгибающих моментов М, поэтому рассматривая эпюру М на рис. 4.1.17 и построив эпюру , согласно рис. 4.6.1 в формуле (4.6.2) для перемножения эпюр первого участка необходимо положить:

a = –Fl; c = Fl/3; b = 0; d = 2l/3.

 Ответ: уС = 0.

 Задача 4.6.8. Определить вертикальное перемещение уВ и угол поворота   точки В консольной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб (рис. 4.4.6).

 Ответ: yB = 3ml2/(2EI); = ml/(EI).

 Задача 4.6.9. Определить вертикальное перемещение уВ и угол поворота   точки В однопролетной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб (рис. 4.4.7).

 Ответ: yB = 0; = ml/(12EI).

 Задача 4.6.10. Определить вертикальное перемещение уС и угол поворота   точки С консольной балки с постоянной жесткостью EIz на изгиб (рис. 4.4.8). Определить также уА и  в точке А.

 Ответ: = q[(a + b)3 – a3]/(6EIz);

 yC = q{3(a + b)4 – 3a4 – 4a3b + 4c[(a + b)3 –a3]}/(24EIz);

  = qab(a + b)/(2EIz), yA = qa2b(4a + 3b)/(12EIz).

 Задача 4.6.11. Определить максимальный прогиб консольной балки из электросварной прямошовной трубы с наружным диаметром D = 168 мм и толщиной стенки t = 6 мм, заделанной одним концом (см. табл.II раздела IV «Приложения»). Прогиб определить от действия собственного веса трубы. Длина консоли – 5 м. Проверить прочность консольной балки из стали С255, = 1.

 Ответ: ymax = 0,9 см;= 24,7 МПа; = 0,8 МПа.

 Задача 4.6.12. Определить горизонтальное смещение опорной точки В ломаного стержня (рамы), изображенного на рис. 4.6.5. Жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EI.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней силы F. Для этого предварительно определим опорные реакции:

 откуда H=F;   откуда Vb=2F;

тогда Va = 2F.


В этом случае для эпюры изгибающих моментов М получаем: МА = 0, МD = МВ = 0 (рис. 4.6.5, б).

 По условию требуется определить горизонтальное смещение хВ опорной точки В рамы, поэтому прикладываем единичную горизонтальную силу Fi = 1 в точке В (рис. 4.6.5, в). Затем строим единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 4.6.5, г) от единичной силы.

 Перемножая эпюры М и  на соответствующих участках рамы (см. формулу (4.6.1)) окончательно находим

 Задача 4.6.13. Определить горизонтальное смещение хС точки С рамы, изображенной на рис. 4.6.5, а. Жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EI.

 Ответ: хС = 4Fl3/(EI).

 Задача 4.6.14. Определить горизонтальное смещение хA точки A ломаного бруса, показанного на рис. 4.6.6. Жесткость на изгиб всех участков ломаного бруса постоянна.

 Ответ: хА = 2Fl3/(3EI).

 Задача 4.6.15. Определить углы поворота поперечных сечений на опорах ломаного бруса, изображенного на рис. 4.6.6. Жесткость на изгиб всех участков ломаного бруса постоянна и равна EI.

 Ответ:

 Задача 4.6.16. Определить вертикальное перемещение поперечного сечения с абсциссой х = l/2 (рис. 4.6.6). Жесткость на изгиб всех участков ломаного бруса постоянна и равна EI.

 Ответ: y = Fl3/(16 EI) при x = l/2.

 Задача 4.6.17. Определить максимальный прогиб консольной балки, показанной на рис. 4.1.20. Жесткость балки на изгиб – EI.

 Ответ: yB = ql4/(30 EI).

 Задача 4.6.18. Определить угол поворота поперечного сечения консольной балки в точке В (рис. 4.1.20). Жесткость балки на изгиб – EI.

 Ответ:

Пример.

Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2.4).

Решение:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.

2. Определяем продольную силу в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

image077

3. По найденным значениям строим эпюру .

Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные – под осью.

Рис.2.4

Напряжение в поперечных сечениях стержня

Нормальная сила приложена в центре тяжести сечения, является равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом:

.

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямоугольную сетку (рис. 2.2, б), то после нагружения поперечные линии а-а, b-b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли).

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, а следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и равны

, (2.2)

где A - площадь поперечного сечения стержня.

В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли нарушается: сечения искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно. По мере удаления от сечений, в которых приложены силы, напряжения выравниваются, и в сечениях, удаленных от места приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно. Это положение, называемое принципом Сен-Венана, позволяет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил статически эквивалентной системой. Например, экспериментально установлено, что во всех трех случаях нагружения стержня (рис. 2.7, а) значения напряжений в сечениях, удаленных от крайних сечений на расстояние не менее высоты сечения , одинаковы: (рис. 2.7, б), а в сечениях, близких к местам приложения внешних сил, распределения напряжений по сечению существенно различны (рис. 2.7, в).

Ocr0306

Рис.2.7

Высказанное предположение о равномерном распределении нормальных напряжений в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения площади поперечного сечения (рис. 2.2, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций.

Нормальные напряжения при сжатии определяют также, как и при растяжении, но считают отрицательными.

Следует помнить, что длинные (тонкие) стержни, нагруженные сжимающими силами, могут потерять устойчивость. Расчет стержней на устойчивость рассмотрен в разделе «Устойчивость».

В инженерных сооружениях встречаются растянутые или сжатые элементы, имеющие отверстия. В сечениях с отверстием определяют осредненные нормальные напряжения по формуле

, (2.3)

где - площадь поперечного сечения нетто; - площадь поперечного сечения брутто; - площадь его ослабления.


Расчеты на растяжение и сжатие