Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Сопромат Задачи и лабораторные работы

ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

 Изгиб представляет собой такую деформацию, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса. Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении бруса (балки). Изгиб называют поперечным, если в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. Если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения, то изгиб носит название плоского или прямого.

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил


Поперечная сила в сечении балки а – а считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от рассматриваемого сечения направлена снизу вверх, а справа – сверху вниз (рис. 4.1.1, а), и отрицательной – в противоположном случае (рис. 4.1.1, б). Иногда пользуются следующим правилом: положительная поперечная сила стремится повернуть балку вокруг рассматриваемого сечения по часовой стрелке, а отрицательная – против часовой стрелки.

 Ординаты эпюр поперечных сил, соответствующие положительным значениям, будем откладывать вверх от осей эпюр, а отрицательным – вниз (ось эпюры должна быть направлена параллельно оси балки).

 Изгибающий момент в сечении балки а-а считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа – против часовой стрелки (рис. 4.1.2, а), и отрицательным – в противоположном случае (рис. 4.1.2, б). 

 Ординаты эпюр изгибающих моментов, соответствующие положительным значениям, будем откладывать вниз от осей этих эпюр, а отрицательным – вверх (ось эпюры должна быть направлена параллельно оси балки).

 Таким образом, устанавливаясь откладывать положительные ординаты эпюры изгибающих моментов вниз от оси балки, мы получим, что эпюра оказывается построенной со стороны растянутых волокон балки.

 Теорема Журавского (теорема Шведлера). Производная от изгибающего момента M по длине балки равна поперечной силе Q:

 (4.1.1)

 Производная от поперечной силы Q по длине балки равна распределенной нагрузке q:

 (4.1.2)

У к а з а н и я

 1. Если в рассматриваемом сечении приложена сосредоточенная сила F, перпендикулярная к оси балки, то значение поперечной силы Q в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенной силы F.

 2. Если в рассматриваемом сечении к балке приложен сосредоточенный внешний момент m, то значение изгибающего момента M в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенного момента m.

 3. Тангенс угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру изгибающего момента М и осью эпюры, равен поперечной силе Q.

 4. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы Q тем круче линия, ограничивающая эпюру М.

 5. На участке балки, на котором поперечная сила имеет постоянное значение, эпюра изгибающих моментов М будет ограничена прямой наклонной линией.

 6. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в тех сечениях балки, в которых поперечная сила равна нулю; касательная к линии, ограничивающей эпюру М, в этом сечении параллельна оси эпюры.

 7. На участках балки, на которых распределенная нагрузка q отсутствует, поперечные силы Q постоянны, а изгибающие моменты M меняются по линейному закону.

 Задача 4.1.1. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, изображенной на рис. 4.1.3.

 Решение. Определим вертикальные опорные реакции RA и RB балки. Отметим, что левая опора – шарнирно неподвижная опора, поэтому в ней возникает вертикальная опорная реакция RA, препятствующая вертикальному смещению, и горизонтальная опорная реакция Н, исключающая горизонтальное смещение закрепленного сечения балки. Однако при заданной вертикальной нагрузке имеем:

 следовательно, H = 0.

откуда 

 Построим эпюру касательных напряжений . С точки зрения касательных напряжений наиболее опасными являются участки I и IV с Q = =Qmax = 8 кН. Величины касательных напряжений  в поперечных сечениях балки определяются по формуле (4.2.6), которая для нашего случая принимает вид

 Для точки 1 имеем  tef(1) = b = 3t, . Далее определяем эти же параметры для точки 2:

 

 Аналогично определяем статический момент относительно нейтральной оси z отсеченной части поперечного сечения для точки 3:

 Для точки 4 находим

 

 В точке 5 получаем  – статический момент сечения равен нулю относительно оси, проходящей через центр тяжести этого сечения; tef(5) = t, тогда .

 По полученным значениям  строим эпюру касательных напряжений в поперечных сечениях балки на участке I или IV (рис. 4.2.2, б).

 Определим минимальный размер t при выполнении условия (4.2.8), которое для рассматриваемого случая принимает вид:

откуда находим

 Таким образом, имеем два значения t: t = 1,82 см – при расчете по максимальному нормальному напряжению и t = 0,38 см – при расчете по максимальному касательному напряжению . Окончательно принимаем максимальное значение t = 1,82 см.

 Задача 4.2.2. Определить максимальное нормальное напряжение σx и максимальное касательное напряжение τ, возникающие в поперечных сечениях балки, представленной на рис. 4.2.3. Принять h = 10 см, b = 6 см, l = 4 м, F = 8 кН.

 Решение. Из эпюры изгибающих моментов М определяем, что Mmax = Fl/4 = 8 кН·м. Осевой момент сопротивления Wz для прямоугольного сечения определяется по формуле

 Используя формулу (4.2.5), находим

 На рис. 4.2.3, б показана эпюра нормальных напряжений σx.

 Из эпюры поперечных сил (рис. 4.2.3, а) находим Qmax = F/2 = 4 кН. Далее определяем осевой момент инерции для прямоугольного сечения

и статический момент отсеченной части поперечного сечения (рис.4.2.3, б)

 = 

 По формуле (4.2.6) находим

 Последняя формула показывает, максимальное значение касательного напряжения будет в точках поперечного сечения, расположенных на оси z, т.е.   На рис. 4.2.3, б показана эпюра касательных напряжений .

 Задача 4.2.3. Определить необходимую ширину b балки прямоугольного поперечного сечения  (рис. 4.2.3, а), причем h = 3b. Длина балки l = 4 м, F = 6 кН. Материал балки – сталь с Ry = 240 МПа, = 1.

 Решение. Согласно условию задачи, имеем Mmax = Fl/4 = 6 кН·м в сечении В. Вычисляем для прямоугольного поперечного сечения  (рис. 4.2.3): Wz = b(3b)2/6 = 1,5b3, тогда из формулы (4.2.7) получаем

Wzn,min = Mz,max /( Ry) = 0,006/240 = 0,000025 м3 = 25 см3, но Wz = 1,5b3.

 Приравнивая Wzn,min = Wz , определяем b = 2,55 см.

 Задача 4.2.4. Определить минимальную высоту h балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.2.3). Принять b = h/3; l = 4 м, F = 6 кН, материал балки – сталь с Ry = 240 МПа, = 1.

 Ответ: h=0,0765 м.

 Задача 4.2.5. Определить допускаемый минимальный диаметр d консольной балки (рис. 4.2.4) из стали с Ry = 240 МПа. Принять, что F = 1 кН, l = 1м, =1. Собственный вес балки не учитывать.

 Решение. Для сплошного круглого поперечного сечения имеем Wz = , где r – радиус поперечного сечения балки. Максимальный изгибающий момент будет в заделке В: Mmax = MB = F2l + Fl = 3lF = 3 кН·м.

 Из формулы (4.2.7) находим момент сопротивления сечения

Wzn,min = Mmax /( Ry) == м3.

 Приравнивая Wzn,min = Wz, находим r = 0,025 м = 2,5 см или d = 5 см.

 Задача 4.2.6. Определить допускаемый минимальный диаметр d консольной балки (рис. 4.2.4) из алюминия марки АЛ8 с Ry = 135 МПа. Принять F = 1 кН, l = 1м, = 1. Собственный вес балки не учитывать.

 Ответ: d = 6,1 см.

 Задача 4.2.7. Определить максимальное нормальное напряжение   в консольной балке, заделанной одним концом, от действия собственного веса. Длина консоли l = 4 м. Балка представляет собой электросварную прямошовную трубу с D = 114 мм и толщиной стенки t = 5 мм (см. табл. II раздела IV «Приложения»).

 Ответ: = 23,35 МПа от Мmax =1050,56 Н·м.

 Задача 4.2.8. Построить эпюры нормальных  и касательных  напряжений в наиболее опасных поперечных сечениях балки, изображенной на рис. 4.1.11. На рис. 4.2.5 показано поперечное сечение рассматриваемой балки. Определить минимальный размер t при условии, что материал балки – сталь С255 с Ry = 240 МПа, = 1.

 Ответ: = 1,4545/t3 кПа;

 t = 1,82 см;= 1,3636/t2 кПа.

 Задача 4.2.9. Подобрать сечение прокатной двутавровой балки, изображенной на рис. 4.1.17. Материал однопролетной балки – сталь С255, γс = 1. Принять l = 3 м, F = 16 кН.

 Решение. Для стали С255 имеем Ry = 240 МПа (см. табл.3). Расчет на прочность заключается в определении Wzn,min из формулы (4.2.7):

 Для рассматриваемого случая, согласно рис. 4.1.17, имеем Mz = Mmax = =Fl = 48 кН·м, следовательно

 В зависимости от Wzn,min = 200 см3 в сортаменте стальных прокатных профилей «Двутавры стальные горячекатанные»(табл. III, а) находим соответствующий номер профиля: два двутавра № 16 с моментом сопротивления одного двутавра 109 см3 или для двух двутавров

Wzn = = 218 см3.

 В этом случае прочность назначенного сечения будет

 Недонапряжение составляет

 Сечение считается подобранным удовлетворительно, если недонапряжение составляет 5 – 7%.

 Задача 4.2.10. Подобрать сечение консольной балки из стальных прокатных профилей (рис. 4.1.16). Материал балки – сталь С255.

 Принять q = 6кН/м, l = 2 м, = 1.

 Ответ: 2 двутавра № 16.

 Задача 4.2.11. Подобрать сечение консольной балки из стальных прокатных профилей (рис. 4.1.7). Материал балки – сталь С255, коэффициент условий работы = 1.

 Ответ: двутавр № 12.

 Задача 4.2.12. Подобрать поперечное сечение однопролетной стальной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q= =16 кН/м (рис. 4.2.6), l = 4 м. Вычислить собственный вес балки из стали С255, = 1.

 При расчете принять, что:

 а) поперечное сечение балки – прямоугольное с отношением высоты h к ширине b балки, равным 3 (h = 3b);

 б) поперечное сечение балки – круглое сплошное;

 в) балка выполняется из электросварных прямошовных труб (см. табл. II раздела IV «Приложения»);

 г) балка – прокатная двутавровая.

 Проанализировать полученные результаты.

 Ответ: а) h = 13,5 см; b = 4,5 см; масса балки 191 кг; б) d = 11 см, масса балки 298 кг; в) D = 219 мм с t = 4 мм, масса балки 84,8 кг; г) двутавр № 18, масса балки 73,6 кг.

 Задача 4.2.13. Для заданной балки (рис. 4.1.3) при q = 10 кН/м, l = 0,5м  найти опасное сечение. Определить из расчета на прочность номер швеллера и вычислить максимальное нормальное напряжениеи максимальное касательное напряжение. Материал балки – сталь С245, = 1.

 Ответ: швеллер № 6,5; = 21,04 МПа; = 166,7 МПа.

 Задача 4.2.14. Определить минимальную ширину b деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.2.3). Принять h = 3b, l = 4 м, F = 6 кН, материал балки – сосна с RИ = 14 МПа, Rск = 1,8 МПа.

 Ответ: b = 0,066 м.

 Задача 4.2.15. Рассмотреть однопролетную деревянную балку прямоугольного поперечного сечения , загруженную равномерно распределенной нагрузкой q. Получить формулы для вычисления ширины балки b из условия прочности по нормальным напряжениям и из условия прочности по касательным напряжениям (по скалыванию).

 Ответ: b = 3ql2/(4h2RИ) – по нормальным напряжениям;

 b = 3ql/(4hRск) – по скалыванию.

 Задача 4.2.16. Определить минимальную ширину b деревянной балки прямоугольного поперечного сечения, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q = 5 кН. Принять h = 2b, l = 4 м, материал балки – сосна с RИ = 14 МПа, Rск = 1,8 МПа (рис. 4.2.6).

 Ответ: b = 0,1 м.

Закон Гука и принцип независимости действия сил

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением деформируемых тел показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Р.Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки А (рис. 1.8, а) нагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:

,                     (1.11)

где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; - коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.

Очевидно, что коэффициент зависит от физико-механических свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей системы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжениями и деформациями, а не между силой и перемещением.

,                      (1.12)

.                       (1.13)

Параметры и , входящие в эти формулы, называют модулями упругости материала соответственно первого и второго рода. Они характеризуют его сопротивляемость деформированию, или жесткость в упругой стадии деформации. Численные значения и для каждого конструктивного материала определяются экспериментально. Они имеют размерности напряжений. На практике удобно использовать единицы, кратные паскалю: мегапаскаль (1 МПа=106 Па) и гигапаскаль (1 ГПа=109 Па).

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между напряжениями и деформациями, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.


Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика