Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Расчет винтовых пружин с малым шагом

Приведем основные сведения по элементарной теории расчета на прочность и жесткость витых цилиндрических пружин с постоянным и малым шагом витка l, при котором угол наклона витка к горизонту мал и можно положить, что cosα 1 (рис. 3.2.19). Средний радиус витка пружины обозначаем R, а радиус стержня пружины – r. Применяя метод сечений (рис. 3.2.20), можно установить, что в сечении пружины действуют внутренняя поперечная сила Q = F и крутящий момент T = FּR. Наибольшее касательное напряжение в пружине определяется по формуле

 (3.2.18)

 После подстановки

T = FּR, Q = F, A = πr2, Wp = πr3/2

формула (3.2.18) приводится к виду

 (3.2.19)

 Эта формула является расчетной для оценки прочности пружины. При R>5r членом r/2R пренебрегают по сравнением с единицей и условие прочности записывают в виде

 (3.2.20)

Расчет на жесткость пружины сводится к определению ее осадки, т.е. к определению изменения длины оси пружины:

 (3.2.21)

где n – число витков.

Задача 3.2.29. Цилиндрическая винтовая пружина нагружена растягивающей силой F = 500 Н. Определить максимальные касательные напряжения в витках пружины и ее удлинение, если

r = 5 мм, R = 6 см, G = 8ּ104 МПа, n = 7.

Решение. Так как R > 5r (6 > 2,5 см), то воспользуемся приближенной формулой для максимальных касательных напряжений

 Вычисляем осадку пружины по формуле (3.2.21)

Задача 3.2.30. Определить величину максимальной допускаемой сжимающей пружину нагрузки, а также осадку пружины, если известно, что R= 60 мм, r = 8 мм (рис. 3.2.19), n = 6, G = 8,2ּ104 МПа; расчетное сопротивление материала пружины на срез Rs = 300 МПа.

Ответ: Fmax = 4 кН, χ = 6,1 см.

Задача 3.2.31. Жесткий рычаг, нагруженный посередине силой F = 20 кН, подвешен на двух пружинах с одинаковым числом витков n = 10 (рис. 3.2.21). Подобрать диаметры проволоки каждой пружины так, чтобы напряжения в них не превосходили расчетного сопротивления на срез Rs = 500 МПа. Средние радиусы витков R1 = 5 см, R2 = 2,5 см. Определить, насколько растянется каждая пружина.

 Ответ: d1 = 2r1 = 1,72 см; d2 = 2r2 = 1,38 см; χ1 = 1,08 см; χ2 = 3,4 см.

Задача 3.2.32. Две пружины одинаковой длины в месте стыка нагружены осевой силой F (рис. 3.2.22). Общая длина пружины не меняется. Как распределяется сила F между пружинами, если n1 = 6; n2 = 4; R1 = 2 см, R2 = 4 см; r1 = 0,4 см, r2 = 0,5 см?

 Ответ: N1 = 0,68F; N2 = 0,32F.

 Задача 3.2.33. Жесткий невесомый рычаг (рис. 3.2.23), подвешенный на трех пружинах с одинаковым числом витков, нагружен силой F = 4 кН. Подобрать диаметр проволоки для каждой пружины так, чтобы касательные напряжения в них были одинаковы и равны τ = 500 МПа. Средние радиусы витков равны: R1 = 3 см, R2 = 4 см, R3 = 5 см.

Ответ: d1 =10,2 мм; d2 =9,07 мм; d3 = 9,44 мм.

3.3. Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля

 Наиболее целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля. Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называется средней линией сечения (рис. 3.3.1).

 Наибольшее касательное напряжение в поперечном сечении стержня определяется по формуле

 (3.3.1)

где Аср – площадь сплошного сечения, ограниченного средней линией сечения; tmin – минимальная толщина стенки в сечении; Т – внутренний крутящий момент в сечении.

 Формула

  (3.3.2)

позволяет вычислить угол закручивания φ стержня длиной l. Интегрирование производится по длине s контура сечения.

 Если тонкостенный стержень имеет постоянную толщину стенки t, тогда формула (3.3.2) принимает вид

 (3.3.3)

где S – длина контура сечения, отсчитываемая вдоль средней линии сечения.

 Задача 3.3.1. Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания стержня с трубчатым прямоугольным поперечным сечением, если внешний крутящий момент М = 2 кН·м, длина стержня l = 1 м (рис. 3.3.2, а), а модуль сдвига материала стержня G = 8·104 МПа.

 Решение. По рис. 3.3.2, б находим Аср = 4·6 = 24 см2, tmin = 1 см. Формула (3.3.1) дает

 Угол закручивания φ в сечении, где приложен внешний крутящий момент М, определяем по формуле (3.3.3):

 Задача 3.3.2. Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания φ трубчатого сечения (рис. 3.3.3), если внешний крутящий момент М = 2 кН·м действует на участке длиной l = 1 м, а модуль сдвига материала трубчатого стержня G = 8·104 МПа.

 Решение. По рис. 3.3.3 находим tmin = 0,5 см, Аср = 6·3,5 = 21 см2, тогда формула (3.3.1) дает

 Максимальное касательное напряжение будет в середине длинной стороны (точка С) поперечного сечения, имеющей минимальную толщину

 tmin = 0,5 см.

 По формуле (3.3.2) определяем угол закручивания сечения на длине стержня в 1 м:

 Задача 3.3.3. Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания участка стержня кольцевого трубчатого сечения, показанного на рис. 3.3.4, если внутренний крутящий момент Т = 0,2 кН·м действует на участке стержня длиной l = 1 м, модуль сдвига материала стержня

G = 8·104 МПа, а d = 2 см, D =3 см.

 Задачу решить двумя способами:

поперечное сечение рассматривать как тонкостенный замкнутый профиль и определить максимальное касательное напряжение и угол закручивания φ1 в пределах участка длиной 1 м;

поперечное сечение рассматривать как кольцевое поперечное сечение и определить угол закручивания φ2 и касательное напряжение  в точке С сечения, используя формулы (3.2.3) и (3.2.5).

 Ответ: φ1 = 0,041 рад; = 40,76 МПа; 

 φ2 = 0,039 рад; = 39,2 МПа

Перемещения и деформации

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою геометрическую форму, то есть деформируются. Если в теоретической механике тела считаются абсолютно жесткими, то в сопротивлении материалов тела обладают способностью деформироваться, т.е. под действием внешней нагрузки изменять свои начальные размеры и форму. Точки тела при этом неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор, имеющий свое начало в точке А недеформированного состояния, а конец в т. деформированного состояния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.8, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.

Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В его недеформированного состояния, расположенные на расстоянии друг от друга (рис. 1.8, б).      

Рис. 1.8

Пусть в результате изменения формы тела эти точки переместились в положение и , соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину DS и составило S + DS. Величина

                                    (1.9)

называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей , то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы , , .

Линейные деформации , , характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела - угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрезками ОD и ОС (рис. 1.8, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение . Величина

           (1.10)

называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плоскости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются , , .

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформированное состояние в точке.


Расчеты на растяжение и сжатие