Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Статически неопределимые задачи на кручение

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:

а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;

б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;

в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

 Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.

Задача 3.2.22. Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом М (рис. 3.2.12), расположенным на расстоянии а от левого закрепления.

Решение. Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты МА и МВ. Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия: , или

 МА+ МВ + М = 0. (3.2.15)

Уравнение содержит две неизвестные величины: МА и МВ. Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.

Рассматриваем картину деформации вала (рис. 3.2.12, б). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.

Согласно формуле (3.2.5), углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной а  для участка длиной b  где Ta и Tb – крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.

 (3.2.16)

Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Та и Тb:

Та = МА , Тb = МВ.

Подставив эти значения моментов в уравнение (3.2.16), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель GIp, получим

 Маּа – Мbּb = 0. (3.2.17)

Решая совместно уравнения (3.2.15) и (3.2.17), найдем

Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. 3.2.12, в).


Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с GIp = const: суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3.2.17). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.

Задача 3.2.23. Построить эпюру крутящих моментов для ступенчатого вала, показанного на рис. 3.2.13.

Ответ: Т1 = – (9/17)М, Т2 = T3 = (8/17)М, Т4 = (16/17)М.

Задача 3.2.24. Построить эпюру крутящих моментов для ступенчатого вала, нагруженного согласно рис. 3.2.14. Известно, что М1 = 200 Нּм, М2 = = 300 Нּм, а = 0,2 м, b = 0,3 м, а также, что полярный момент инерции на третьем участке в два раза больше полярных моментов инерции на первом и втором участках.

Ответ: Т1 = –83,3 Нּм; Т2 = 116,7 Нּм; Т3 = –183,3 Нּм.

Задача 3.2.25. Построить эпюру крутящих моментов для вала, представленного на рис. 3.2.15.

Ответ: Т1 = Т3 = –М/3; Т2 = 2М/3.

Задача 3.2.26. Построить эпюру Т и произвести ее проверку для вала, показанного на рис. 3.2.16.

 Дано: М = 900 Нּм, а = 0,2 м.

Ответ: Т1 = –600 Нּм;

 Т2 = 300 Нּм.

Задача 3.2.27. Построить эпюру Т и произвести ее проверку для вала, показанного на рис. 3.2.17.

Ответ: Т1 = 25 Нּм;

Т2 = 225 Нּм, Т3 = –175 Нּм.

 Задача 3.2.28. Построить эпюры крутящих моментов Т, абсолютных   и относительных  углов закручивания круглого сплошного ступенчатого стержня, защемленного с двух торцов и нагруженного внешним крутящим моментом М (рис. 3.2.18).

 Решение. Задача один раз статически неопределима. Решим задачу следующим способом. Отбросим мысленно правое защемление, т.е. рассмотрим статически определимый стержень, показанный на рис. 3.2.18, б. Эпюра крутящих моментов для него от действия внешнего крутящего момента М имеет вид, показанный на рис. 3.2.18, в. Определим угол закручивания правого торца В статически определимого стержня:

 Ответ получился со знаком «+», следовательно, сечение В повернется вокруг оси х в направлении внешнего момента М. Но на самом деле сечение 4 статически неопределимого стержня (рис. 3.2.18, а) не поворачивается (. Приложим к статически определимому стержню крутящий момент МВ (рис. 3.2.18, г) и определим угол поворота правого торца только от действия момента МВ, используя эпюру крутящего момента  (рис. 3.2.18, д), 

 Теперь можно записать деформационное условие, показывающее, что угол поворота в сечении 4 статически неопределимого стержня должен быть равен нулю:

 Из этого условия находим МВ = М/6. Крутящий момент МВ будет являться опорной реакцией для статически неопределимого стержня,

МВ = М4.

 Окончательная эпюра крутящих моментов получается сложением двух эпюр   и  (рис. 3.2.18, е).

 Приступаем к построению эпюры углов закручивания φ, для чего вычисляем по формуле (3.2.5) углы закручивания для каждого участка

  

а затем находим значения углов закручивания в характерных сечениях:

   

 Последний результат подтверждает правильность проведенных вычислений. Введя для сокращения новое обозначение , окончательно получаем:

 .

 Затем строим эпюру абсолютных углов закручивания (рис. 3.2.18, ж).

 Для построения эпюры относительных углов закручивания (рис. 3.2.18, з) необходимо предварительно вычислить

 где принято   следовательно,  

 Определим необходимые диаметры стержня. Примем, что внешний крутящий момент М = 20 кНּм, расчетное сопротивление материала стержня на срез Rs = 100 МПа, допустимый относительный угол закручивания , а модуль сдвига G = 8·104 МПа.

 Диаметр стержня в пределах I и II участков будем обозначать d1, а в пределах участка III – d4. Согласно условию задачи между d1 и d4, существует соотношение (рис. 3.2.18, а):

и , тогда откуда

 Кроме того, 

 Необходимый диаметр d1 при условии обеспечения прочности стержня определяем по формуле (3.2.11), взяв значение крутящего момента из эпюры Т, представленной на рис. 3.2.18, е:

 

 Определим максимальное касательное напряжение, которое возникнет в стержне на участке III:

 Необходимый диаметр при условии обеспечения жесткости стержня находим по формуле (3.2.12):

 

 Сравнивая результаты, принимаем окончательно d1 =13 см, d4 =11 см, определенные из условия жесткости.

 Диаметр d4,жестк можно определить также, используя эпюру θ (рис. 3.2.18, з), из которой видно, что  на участке I, поэтому приравнивая

находим  и, наконец, определяем

а

Напряжения

При определении внутренних силовых факторов их считают приложенными в центре тяжести сечения. В действительности внутренние силы, являясь результатом взаимодействия частиц тела, непрерывно распределены по сечению. Интенсивность этих сил в разных точках сечения может быть различной. При увеличении нагрузки на элемент конструкции увеличиваются внутренние силы и соответственно увеличивается их интенсивность во всех точках сечения. Если в некоторой точке интенсивность внутренних сил достигнет определенного для данного материала значения, в этой точке возникает трещина, развитие которой приведет к разрушению элемента, или возникнут недопустимые пластические деформации. Следовательно, о прочности элементов конструкций следует судить не по значению внутренних силовых факторов, а по их интенсивности. Меру интенсивности внутренних сил называют напряжением.

В окрестности произвольной точки, принадлежащей сечению некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку , в пределах которой действует внутреннее усилие (рис. 1.6, а).

Среднее значение интенсивности внутренних усилий на площадке, называемое средним напряжением, определяют по формуле

                               (1.5)

Уменьшая площадь , в пределе получаем истинное напряжение в данной точке сечения

                                   (1.6)

Векторная величина называется полным напряжением в точке. В международной системе единиц (СИ) за единицу напряжения принят паскаль (Па) – это напряжение, при котором на площадке 1 м2 действует внутренняя сила 1 Н.

Так как эта единица очень мала, в расчетах используют кратную единицу напряжения – мегапаскаль (1 МПа=106 Па).

Разложим вектор полного напряжения на две составляющие (рис.1.6, б).

Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обозначается через и называется нормальным напряжением.

Ocr0302

Рис. 1.6

Составляющую, лежащую в сечении в данной площадке обозначается через и называется касательным напряжением.

Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению – отрицательным.

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.

Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис.1.6, в). Первый индекс при показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.

Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость

                          (1.7)

Через точку тела можно провести бесконечное число сечений и для каждого из них напряжения имеют свое значение. Следовательно, при определении напряжений необходимо указывать положение не только точки тела, но и сечения, проведенного через эту точку.

Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами определенными зависимостями.

Возьмем в сечении бесконечно малую площадку площадью . По этой площадке в общем случае действуют бесконечно малые (элементарные) внутренние силы (рис. 1.7)

; ; .

Ocr0303

Рис.1.7

Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей , , имеют вид:

; ; .

Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями:

(1.8)

В соответствии с теоремой Вариньона, известной из теоретической механики, и зависимостью между напряжениями , и , выражение для можно записать в виде

,

где

.

Интегральные зависимости (1.8) можно использовать для определения напряжений по найденным методом сечений внутренним силовым факторам при условии, что известны законы распределения напряжений по сечению.


Расчеты на растяжение и сжатие