Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Расчеты на прочность и жесткость валов круглого и кольцевого сечений

При расчете валов требуют, чтобы они удовлетворяли условиям прочности и жесткости. Условие прочности требует, чтобы максимальное касательное напряжение, вычисленное по формуле (3.2.4), было меньше или в предельном случае равно расчетному сопротивлению на срез Rs для материала вала, т.е.

  (3.2.9)

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания θmax, вычисленный по формуле (3.2.5), был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

  . (3.2.10)

Из формулы (3.2.9) можно найти необходимый для обеспечения прочности полярный момент сопротивления сечения, а по нему и диаметр вала:

 но Wρ = 0,2d 3, поэтому

 (3.2.11)

Из формулы (3.2.10) можно найти необходимый полярный момент инерции сечения, а по нему и диаметр вала

В этой формуле допускаемый относительный угол закручивания θadm должен быть выражен в радианах; если этот угол дан в градусах, то соотношение для определения Ip будет выглядеть следующим образом:

но Ip = 0,1d 4 , поэтому

  (3.2.12)

Из двух диаметров, рассчитанных по формулам (3.2.11) и (3.2.12), в качестве окончательного диаметра выбирается больший, который обычно округляется до целых миллиметров.

В случае расчета размеров вала кольцевого поперечного сечения при заданном соотношении внутреннего dвн и наружного диаметров d, т.е. при заданном параметре k = dвн /d, формулы (3.2.11) и (3.2.12) принимают вид:

 (3.2.13)

 (3.2.14)

Задача 3.2.15. Для вала, показанного на рис.3.2.3, сплошного круглого поперечного сечения найти необходимые диаметры по участкам. Материал вала – сталь, модуль сдвига G = 8·104 МПа, расчетное сопротивление на срез Rs = 30 МПа, допускаемый угол закручивания .

Решение. Прежде всего строится эпюра крутящих моментов. Значения крутящих моментов по участкам следующие:

Т1 = –М1 = –0,3 кН·м; Т2 = –М1 – М2 = –0,9 кН·м;

Т3 = –М1 – М2 + М0 = 1,5 кН·м.

Далее производится расчет диаметров по участкам вала из условия прочности, т.е. с использованием формулы (3.2.11):

 

Затем рассчитываются диаметры по участкам вала из условия жесткости, т.е. с использованием формулы (3.2.12):

В качестве окончательных следует выбрать значения диаметров, рассчитанные из условия жесткости. Таким образом, окончательные размеры диаметров вала таковы: d1 = 52 мм, d2 = 69 мм, d3 = 78 мм.

Задача 3.2.16. Для вала, представленного в предыдущей задаче (рис. 3.2.3), рассчитать по участкам диаметры кольцевого сечения при отношении диаметров k = dвн/d = 0,8.

Решение. Подставляя в формулы (3.2.13) и (3.2.14) известные значения Ti, Rs, G,и k найдем

d1,пр = 4,44·10–2 м, d2,пр = 6,36·10–2 м, d3,пр = 7,56·10–2 м;

d1,жестк. = 5,94·10–2 м, d2,жестк. = 7,84·10–2 м, d3,жестк = 8,88·10–2 м.

Таким образом, за наружные размеры диаметров участков полого вала следует  взять те, которые были рассчитаны из условия жесткости. Итак, d1 = 60 мм, d2 = 79 мм, d3 = 89 мм. Внутренние расчетные диаметры будут равны d1,вн = 0,8·60 = 48 мм, d2,вн = 63 мм, d3,вн = 71 мм.

П р и м е ч а н и е. Обычно внутренний канал полого вала делается постоянного диаметра, за который принимают наименьший из рассчитанных, т.е. в нашей задаче dвн = d1,вн = 48 мм, хотя при этом на некоторых участках соотношение диаметров k будет несколько отличаться от заданного.

Задача 3.2.17. Для вала, показанного на рис. 3.2.10, построить эпюру крутящих моментов, подобрать сплошное круглое и кольцевое сечения по участкам из условий прочности и жесткости. Сравнить массы полого и сплошного валов. Дано: k = dвн/d = 0,7;

Rs = 22 МПа,= 0,5 град/м; G = 8·104 МПа,

число оборотов вала n = 195 об/мин.

 Ответ: диаметры сплошного вала d1 = =88мм, d2 = 94 мм, d3 = 76 мм; отношение массы полого вала к массе сплошного равно 0,7.

Задача 3.2.18. На вал, делающий n = 200 об/мин, передается через ведущий шкив на ведомый мощность U = 425 кВт. Рассчитать диаметр d сплошного круглого вала, если принять Rs = 100 МПа, = 0,25 град/м, модуль сдвига материала вала G = 8·104 МПа.

Ответ: d = 145 мм.

Задача 3.2.19. Полый стальной вал нагружен сосредоточенным крутящим моментом Т = 6 кН·м. Определить наружный и внутренний диаметры вала, если Rs = 70 МПа,  = 1 град/м, G = 8·104 МПа, k = dвн/d = 0,8.

Ответ: d = 90 мм; dвн = 72 мм.

Задача 3.2.20. Вал, жестко закрепленный одним концом, закручивается моментом М = 3 кН·м, приложенным ко второму его концу. Длина вала 2 м. Рассчитать, насколько легче будет полый вал (k = 2/3), чем равнопрочный и равножесткий вал сплошного круглого сечения.

Дано: Rs = 30 МПа,  = 0,2 град/м, G = 8·104 МПа.

Ответ: полый вал легче сплошного на 49 кг.

 Задача 3.2.21. Прямолинейный круглый стальной стержень ступенчато-переменного диаметра жестко защемлен одним концом и нагружен системой трех внешних крутящих моментов (рис. 3.2.11, а), причем

М1 = 2М; М2 = 1,5М; М3 = М, а М = 20 кН·м.

 Построить эпюры крутящих моментов Т, абсолютных  и относительных  углов закручивания стержня, эпюру наибольших касательных напряжений  в сечениях по всей длине стержня.

 Из условий прочности и жесткости подобрать диаметры сплошного стержня для каждого участка, приняв в расчетах модуль сдвига G = 0,8·105 МПа, расчетное сопротивление материала стержня (сталь) на срез Rs = 100 МПа, допускаемый от-носительный угол закручивания = 0,4 град/м. Полярные моменты инерции и длины участков показаны на рис. 3.2.11, а.

Решение. Обозначим цифрами характерные сечения на стержне. Имеем для II и III участков

  (a)

где через d обозначен диаметр стержня в пределах этих участков. Для участка I получаем: 

откуда находим  (б)

 Кроме того, 

  (в)

 Определим внутренние крутящие моменты на каждом участке, начиная со свободного конца: 

TIII = –M3 = –M; TII = –M3 + M2 = –M + 1,5M = 0,5M;

TI = –M3 + M2 – M1 = –M + 1,5M – 2M = –1,5M.

 Строим эпюру крутящих моментов Т (рис. 3.2.11, б).

 Определяем наибольшие касательные напряжения на каждом участке, используя формулу (3.2.4):

 В последних формулах введено обозначение

  (г)

 Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине стержня (рис. 3.2.11, в).

 Определяем углы закручивания отдельных участков по формуле (3.2.5):

где введено новое обозначение

  (д)

 Вычисляем углы поворота характерных сечений стержня:

  

 По полученным результатам строим эпюру (рис. 3.2.11, г).

 Определяем относительные углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.2.6):

 

 Строим эпюру (рис. 3.2.11, д).

 По эпюре  (рис. 3.2.11, в) видно, что самое большое касательное напряжение будет на участке III, поэтому формулу (3.2.11) записываем применительно к этому участку

 По эпюре  очевидно, что самый большой относительный угол закручивания будет на участке III, поэтому применяем формулу (3.2.12) для участка III:

 Сравнивая результаты расчетов на прочность (d = 0,1 м) и на жесткость (d = 0,14 м) находим, что главенствующим в рассматриваемой задаче является расчет на жесткость, поскольку d = 0,14 м > 0,1 м. Окончательно принимаем d = 14 см.

 Определяем диаметры сечений остальных участков:

dII = dIII = d =14 см, dI =1,19d = 16,7 см.

 Определим значение угла закручивания  на правом торце стержня (рис. 3.2.11, а) в сечении 3. Из эпюры (рис. 3.2.11, г) выписываем с учетом формул (д) и (а):

Испытание на сжатие осуществляется обычно при помощи тех же испытательных машин с применением специальных приспособлений (реверсоров).

Диаграмма сжатия пластичных материалов (рис.1.13) на начальном участке практически не отличается от диаграммы растяжения. Модуль упругости, коэффициент Пуассона, пределы пропорциональности, упругости и текучести пластичных материалов при сжатии имеют те же значения, что и при растяжении, поэтому пластичные материалы редко испытывают на сжатие. Деформация сжатия протекает подобно деформации растяжения. Вначале постепенно нарастают упругие деформации, а затем за пределом упругости более интенсивно накапливаются пластичные. Разрушения образцов пластичных материалов не происходит (рис.1.15, а), они постепенно укорачиваются, принимают бочкообразную форму, поэтому предела прочности при сжатии для таких материалов не существует.

У хрупких материалов (чугун, камень, бетон) диаграммы сжатия также однотипны (рис.1.14). Разрушение образцов происходит при малых деформациях. В образцах после некоторого укорочения появляются наклонные (примерно под углом 450) трещины (рис.1.15, б), которые постепенно раскрываются. На диаграмме (рис.1.14) наивысшая точка соответствует появлению первой трещины. Возникновение и раскрытие новых трещин происходит уже при снижающейся на образец нагрузке. Дальнейшее сжатие образца приводит к разрушению, которое начинается выкрашиванием частичек материала из трещиноватых зон, после чего остаются две приторцовые зоны в виде усеченных конусов. Трение по торцовым плоскостям, воспринимающим сжимающую нагрузку, предохраняет эти зоны от разрушения.

Ocr0192Ocr0192

Рис.1.13 Рис.1.14

Ocr0193

Рис.1.15

При испытании хрупких материалов на сжатие определяют в основном предел прочности как напряжение, соответствующее максимальной нагрузке. Предел прочности при сжатии хрупких материалов, как правило, значительно выше предела прочности при растяжении . Например, для чугуна .

Характер деформации сжатия образцов из древесины зависит от направления нагрузки: вдоль волокон или поперек (рис.1.16). Сопротивление сжатию вдоль волокон значительно выше, чем поперек. Разрушение образцов, нагруженных вдоль волокон, происходит в виде своеобразного излома (рис.1.15, в) в результате потери местной устойчивости стенок ряда волокон древесины, проявляющейся в образовании характерной складки. Оно может также сопровождаться обмятием торцов образца и появлением продольных трещин. Образцы, нагруженные поперек волокон, в упругопластической стадии постепенно сминаются (рис.1.15, г). Разрушающая нагрузка определяется условно. Она соответствует деформации сжатия образца на 1/3 своей первоначальной высоты. Сопротивление древесины сжатию вдоль волокон значительно больше сопротивления поперек волокон (в 8...10 раз).


Расчеты на растяжение и сжатие