Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Дополнительные задачи на сдвиг

Задачи на сдвиг встречаются не только при расчете заклепочных и болтовых соединений. Имеются и другие элементы конструкций, испытывающие деформацию сдвига, и поэтому при их расчете необходимо всякий раз удовлетворять условию прочности на срез

  (3.1.15)

и условию прочности на смятие

 (3.1.16)

Например, при расчете соединения деревянных элементов в качестве условия (3.1.15) применяется условие прочности на скалывание вдоль волокон

  (3.1.17)

где Rск – расчетное сопротивление скалыванию.

Условие прочности на смятие в деревянных конструкциях вдоль волокон имеет вид соотношения (3.1.16).

Задача 3.1.16. Определить длину l призматической шпонки, с помощью которой соединены вал 1 диаметром 0,036 м с колесом 2 (рис. 3.1.23). С вала на колесо передается момент М = 144 Нּм. Расчетные сопротивления материала шпонки равны: на срез Rs = 80 МПа, на смятие Rр =320МПа, коэффициент условий работы соединения γс = 1. Размеры на рисунке указаны в мм.

 Решение. Вначале следует определить величину усилия F, действующего на шпонку со сто-роны соединяемых деталей. Оче-видно, что M = Fd/2, где d – диаметр вала. Следовательно,

F = 2M/d = 2·144/0,036 = 8000 Н.

 Можно допустить, что это усилие равномерно распределено по площади шпонки равной Aр = hl/2, где h = 8 мм – высота шпонки. Необходимая для обеспечения прочности длина шпонки может быть найдена из условий (3.1.15) и (3.1.16), которые применительно к рассматриваемой задаче запишутся так:

Находим длину шпонки из первого условия (прочность на срез):

и из второго условия (условие прочности на смятие):

Следовательно, чтобы соединение было прочным, длину шпонки необходимо принять равной большему значению из двух полученных длин, т.е. 1 см.

Задача 3.1.17. Определить размеры δ и h чеки (рис. 3.1.24), служащей для закрепления анкера В диаметром d = 40 мм в гнезде, а также длину x хвоста анкера, если коэффициент условий работы соединения γс = 1, а расчетные сопротивления равны: на растяжение (для материала анкера) Ru = 160 МПа, на срез Rbs = 100 МПа, на смятие Rbр = 320 МПа.

У к а з а н и я

 1. Сила F определяется из условия прочности на растяжение анкера.

 2. Площадь смятия равна δd , площадь среза 2h = 2xd.

 Ответ: F = 137 кН; h = 7 см, x = 2 см.

 Задача 3.1.18. Цилиндр диаметром d = 12 см (рис. 3.1.25) соединяется с деталью ВВ при помощи четырех приливов, каждый из которых имеет высоту δ = 2 мм и длину b = 5 мм. Определить напряжения среза τср и смятия σсм в этом соединении, если сдвигающее усилие F = 240 кН.

 Ответ: σсм = 320 МПа;

 τср = 128 МПа.

Задача 3.1.19. Две детали соединены шлицевым соединением (рис. 3.1.26). Определить разрушающую величину момента, передаваемого с вала 1 на деталь 2, если предел прочности на срез материала Rsn = 100 МПа.


Ответ: Тразр = 486 Н·м.

Задача 3.1.20. Определить, какую силу F (рис. 3.1.27) надо приложить к штампу для пробивки в стальном листе толщиной δ = 10 мм отверстия диаметром d = 12 мм, если предел прочности на срез материала листа Rsn = 400 МПа.

Ответ: F = 151,2 кН.

Задача 3.1.21. Определить необходимую глубину Δ кольцевой канавки мембраны предохранительного клапана (рис. 3.1.28), если максимальное давление pmax  = 10 МПа, диаметр d = 4 см,

толщина мембраны δ = 2Δ, предел прочности материала мембраны на срез Rsn = 100 МПа.

У к а з а н и е

При достижении максимального давления pmax клапан должен сработать, т.е. мембрана прорывается путем среза по кольцевой канавке.

Ответ: Δ = 1 мм.


Задача 3.1.22. Проверить прочность соединения деревянных элементов – врубки «прямым зубом», показанной на рис. 3.1.29. Размеры врубки даны на рисунке в мм, растягивающая сила F = 100 кН. Расчетные сопротивления для древесины имеют значения: на скалывание Rск = 2,5 МПа, на смятие Rсм = 10 МПа, коэффициент условий работы соединения γс = 1.

Решение. Проверяем выполнение условия прочности на скалывание (3.1.17)

 Таким образом, условие прочности на скалывание выполняется.

Проверяем условие прочности на смятие (3.1.16)

 Таким образом, и условие прочности на смятие также выполняется.

 Задача 3.1.23. Определить необходимые размеры врубки «прямым зубом». Соединение показано на рис. 3.1.30. Сечение брусьев квадратное, растягивающая сила F = 40 кН.

 Расчетные сопротивления для древесины имеют значения: на смятие Rсм = 10 МПа, на растяжение Rр = 12,5 МПа, на скалывание Rск = 1,25 МПа, коэффициент условий работы соединения γс = 0,8.

 Ответ: а = 11,4 см; b = 4,4 см; с = 35,1 см.

3.2 Кручение

 Кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 3.2.1, а). Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами. При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Из теоретической механики известна зависимость между скручивающим моментом М, Н·м, мощностью (секундной работой) U, Н·м·с-1, и числом n оборотов в минуту для вала

 . (3.2.1)

Если мощность задана в киловаттах, то величина скручивающего момента определяется по формуле

 . (3.2.2)

3.2.1. Крутящие моменты и их эпюры

В поперечных сечениях скручиваемого вала возникают внутренние крутящие моменты Т. Они устанавливаются на основе метода сечений: внутренний крутящий момент равен алгебраической сумме односторонних внешних моментов. При построении эпюр крутящих моментов принимают следующее правило знаков: если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий в этом сечении момент оказывается направленным против хода часовой стрелки, то он считается положительным (рис. 3.2.1, б), а если по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Задача 3.2.1. На вал, делающий n = 100 об/мин, передается через ведущий шкив мощность U0 = 10 кВт. С двух ведомых шкивов снимаются мощности U1 = 6 кВт и U2 = 4 кВт (рис. 3.2.2.) Построить эпюру крутящих моментов Т для этого вала.

 Решение. Определяются величины внешних скручивающих моментов по формуле (3.2.2.):

 

Вал разбивается на два участка, границами которых являются сечения, где приложены внешние моменты. Применяя метод сечений на первом и втором участках, и пользуясь указанным выше правилом для расчета крутящего момента Т, получим

Т1 = М0 = 974 Н·м; Т2 = М0 – М1 = 974 – 584 = 390 Н·м.

 Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 3.2.2.

Задача 3.2.2. Для условий задачи 3.2.1. построить эпюру Т, поменяв местами моменты М0 и М1.

Ответ: Т1 = –584 Н·м; Т2 = 390 Н·м.

Задача 3.2.3. Для стального вала круглого поперечного сечения, нагруженного четырьмя внешними скручивающими моментами М1=0,3 кН·м, М2 = 0,6 кН·м, М3 = 1,5 кН·м, М0 = 2,4 кН·м (рис. 3.2.3.), построить эпюру крутящих моментов.

 Ответ: Т1 = –0,3 кН·м (на участке АВ); Т2 = –0,9 кН·м (на участке ВС);

 Т3 = 1,5 кН·м (на участке СD).

Задача 3.2.4. Построить эпюру крутящих моментов для вала, показанного на рис. 3.2.4.

Ответ: Т1 = 2000 Н·м (на участке АВ); Т2 = –1000 Н·м (на участке ВС);

 Т3 = –3600 Н·м (на участке CD);

 Т4 = 1400 Н·м (на участке DЕ).

Задача 3.2.5. Найти наиболее рациональное расположение четырех крутящих моментов на валу (рис. 3.2.5):

М1 = 2 кН·м, М2 = 3 кН·м;

М3 = 1 кН·м, М0 = 6 кН·м.

У к а з а н и я

1. Наиболее выгодным расположением моментов на валу является то, при котором максимальный момент Тmax будет наименьшим среди Тmax при других расположениях внешних моментов.

2. В задаче следует рассмотреть 3–4 варианта размещения моментов и выбрать из них оптимальный вариант.

3. Длины участков вала остаются неизменными.

 Ответ: Т1 = –3000 Н·м (на участке АВ); Т2 = 3000 Н·м (на участке ВС);

 Т3 = 1000 Н·м (на участке СD).

Истинное сопротивление разрыву значительно больше предела прочности . Например, для низкоуглеродистой стали Ст3 =380 МПа; =800...1000 МПа.

Истинное напряжение в месте разрыва образца к моменту его разрыва наиболее полно характеризует силу взаимодействия между частицами перед их отрывом друг от друга. Причем отрыв частиц происходит по центральной части поперечного сечения шейки, остальная часть скалывается под углом 450, с образованием по периметру сечения характерного венчика (рис.1.12, а). Такая форма разрушения наблюдается только у пластичных материалов.

Ocr0191

Рис.1.12

Рассмотренные выше пределы пропорциональности и упругости характеризуют упругие свойства материала. Пределы текучести и прочности являются характеристиками прочности материала. Пластичность материала оценивают относительными остаточными деформациями, накопленными образцом до его разрушения: относительным остаточным удлинением

и относительным остаточным сужением площади сечения образца при разрыве

,

где и - начальные длина и площадь сечения образца; , - длина и площадь сечения образца, измеренные после его разрушения.

Сложенные части разорванного образца из пластичного материала длиннее исходного на величину остаточной деформации. Упругая часть деформации при разрушении образца исчезает. О ее величине можно судить по диаграмме (см. рис.1.10), если спроецировать точку на ось абсцисс по направлению линии (точка ). Наличие в материале упругих деформаций при его работе за пределом упругости подтверждается в опытах наклоном линии к оси абсцисс, которая появится на диаграмме, если в процессе опыта прекратить нагружение и произвести разгрузку образца с той же скоростью. После исчезновения упругой деформации (отрезок ) образец окажется удлиненным на величину остаточной деформации (отрезок ).

Повторное нагружение разгруженного образца позволяет получить укороченную диаграмму , являющуюся продолжением начального участка полной диаграммы. Линия повторного загружения практически совпадает с линией разгрузки . Аналогичная картина наблюдается при разгрузке и повторном загружении образца для любой точки , выбранной на участке диаграммы.

Укороченная диаграмма характерна для образцов, изготовленных из материала, в результате холодной обработки (ковки, штамповки, вытяжки) получившего наклеп (упрочнение материала). Модуль упругости материала при этом практически не изменится, так как линии и почти параллельны, точки и на укороченной диаграмме окажутся намного выше, площадка текучести исчезнет. Это означает, что при наклепе повышаются прочностные свойства материала, но снижаются свойства пластичности и он становится ближе к хрупким материалам, у которых диаграмма испытаний очень короткая, так как образцы разрушаются при весьма малых остаточных деформациях.


Расчеты на растяжение и сжатие