Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

СДВИГ, КРУЧЕНИЕ

Сдвиг

 Сдвигом называют деформацию, представляющую собой искажение первоначально прямого угла малого элемента бруса (рис.3.1.1) под действием касательных напряжений τ. Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом или, применительно к древесине, скалыванием.

 Деформация сдвига оценивается взаимным смещением граней 1 – 1 и 2 – 2 малого элемента (рис. 3.1.2), называемым абсолютным сдвигом и более полно – относительным сдвигом 

 , (3.1.1)

являющимся безразмерной величиной.

 В предположении равномерного распределения касательных напряжений по сечению площадью А, они определяются по формуле

 , (3.1.2)

где Q – поперечная сила в данном сечении.

В пределах упругости касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу

  (3.1.3)

– это закон Гука при сдвиге; G – модуль сдвига, Н/м2, характеризующий жесткость материала при сдвиге.

Модуль сдвига G, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона ν материала связаны зависимостью

Удельная потенциальная энергия деформации сдвига равна

На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений.

3.1.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений

В зависимости от числа срезов одного болта или одной заклепки их называют односрезными, двухсрезными и т.д. (рис. 3.1.3, а, б).

Они должны удовлетворять, во-первых, условию прочности на срез

  (3.1.4)


где Q – поперечная сила, равная внешней силе F, действующей на соединение; Rbs – расчетное сопротивление на срез; А = πd2/4 – расчетная площадь сечения болта или заклепки; d – диаметр заклепки или наружный диаметр болта; ns – число срезов одного болта или заклепки; γb – коэффициент условий работы соединения, имеющий значения в интервале ; n – число болтов или заклепок.

Если величины F, Rbs, γb, ns известны, то задаваясь числом заклепок или болтов n, можно найти необходимый для обеспечения прочности на срез диаметр

 . (3.1.5)

А зная d, F, Rbs, γb, ns, можно определить потребное число заклепок или болтов

  (3.1.6)

Во-вторых, заклепки или болты должны отвечать условию прочности на смятие. Под смятием понимают пластическую деформацию, возникаю-щую в соединениях на поверхностях контакта (рис. 3.1.4, а). Возникаю-щие при этом напряжения являются нормальными, закон распределения которых по поверхности контакта достаточно сложен (рис. 3.1.4, б).

Упрощая расчет, площадь, подвергающуюся смятию, принимают равной

где d – диаметр заклепки (болта); n – их число; Σt – наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении. Сминающей будет та же сила F, которая производит и срез. Таким образом, условие прочности на смятие имеет вид:

  (3.1.7)

где Rbp – расчетное сопротивление на смятие.

Из условия (3.1.7) можно найти либо необходимый диаметр d по известным величинам F, t, n, Rbp,:

 , (3.1.8)

либо определить потребное число заклепок n

. (3.1.9)

Из двух значений диаметров, рассчитанных по формулам (3.1.5) и (3.1.8), берут больший, округляя его до стандартного значения. Точно так же из двух значений n, рассчитанных по формулам (3.1.6) и (3.1.9), выбирают большее число, естественно, округленное до большего целого.

У к а з а н и я

 1. В заклепочных и болтовых соединениях при действии поперечной силы Q , проходящей через центр тяжести соединения, распределение этой силы между заклепками или болтами принимают равномерным.

 2. При действии на соединение момента, вызывающего сдвиг соединяемых элементов, распределение усилий на болты или заклепки следует принимать пропорционально расстояниям от центра тяжести соединения до рассматриваемого болта или заклепки.

3. Болты или заклепки, работающие одновременно на срез и растяжение, следует проверять отдельно на срез и на растяжение.

Задача 3.1.1. Рассчитать количество заклепок диаметром d = 4 мм, необходимое для соединения двух листов двумя накладками (рис. 3.1.5). Материалом для листов и заклепок служит дюралюминий, для которого Rbs = 110 МПа, Rbр = 310 МПа. Сила F = 35 кН, коэффициент условий работы соединения γb = 0,9; толщина листов и накладок t = 2 мм.

Решение. Используя формулы (3.1.6) и (3.1.9), рассчитываем потребное количество заклепок:

 из условия прочности на срез

 из условия прочности на смятие

Из полученных результатов видно, что в данном случае решающим явилось условие прочности на смятие. Таким образом, следует взять 16 заклепок.

Задача 3.1.2. Выполнить расчет прикрепления стержня к узловой фасонке (рис. 3.1.6) болтами диаметром d = 2 см. Стержень, поперечное сечение которого представляет собой два одинаковых равнобоких уголка, растягивается силой F = 300 кН.

 Материал фасонки и болтов – сталь, для которой расчетные сопротивления равны: на растяжение Rbt = 200 МПа, на срез Rbs = 160 МПа, на смятие Rbр = 400 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,75. Одновременно рассчитать и назначить толщину листа фасонки.

Решение. Прежде всего необходимо установить номер равнобоких уголков, составляющих стержень, определив потребную площадь поперечного сечения Anec из условия прочности на растяжение

 Учитывая предстоящее ослабление стержня отверстиями для болтов, следует добавить к площади сечения Anec 15%. Полученной таким образом площади сечения А = 1,15ּ20 = 23 см2 отвечает по ГОСТ 8508–86 (см. Приложение) симметричное сечение из двух равнобоких уголков размерами 75758 мм.

 Производим расчет на срез. Пользуясь формулой (3.1.6), найдем необходимое число болтов

 Остановившись на этом числе болтов, определим толщину δ узловой фасонки, используя условие прочности на смятие (3.1.7),

 У к а з а н и я

 1. Привязка линии размещения болтов (заклепок) в один ряд находится из условия: m = b/2 + 5 мм.

 В нашем примере (рис. 3.1.6)

m = 75/2 + 5 = 42,5 мм.

2. Минимальное расстояние между центрами соседних болтов принимают равным l = = 3d. В рассматриваемой задаче имеем l = 3ּ20 = 60 мм.

3. Расстояние от крайних болтов до границы соединения l/ принимается равным 0,7l. В нашем примере l/ = 0,7l = 0,7ּ60 = 42 мм.

 4. При выполнении условия b12 см болты (заклепки) размещают в две линии в шахматном порядке (рис. 3.1.7).

Задача 3.1.3. Рассчитать количество заклепок для условий задачи 3.1.1 в предположении, что накладка в соединении имеется лишь с одной стороны.

Ответ: 32 заклепки.

Задача 3.1.4. Два стержня, соединенные накладкой с одной стороны с помощью заклепок, растягиваются силой F = 50 кН (рис. 3.1.8). Число заклепок на каждом стержне равно n = 3, диаметр одной заклепки d = 15 мм. Сечение стержней – равнобокие уголки 70708 мм, толщина накладки δ = 10мм.

 Проверить прочность соединения, если расчетные сопротивления материала равны: на срез Rbs = 100 МПа, на смятие Rbр = 300 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,9.

 Ответ: условия прочности на срез и на смятие выполняются.

 Задача 3.1.5. Пять стальных листов толщиной 10 мм загружены силой F = 500 кН по схеме, показанной на рис. 3.1.9.

 Определить потребное число заклепок диаметром d = 2 см, соединяющих листы, если расчетные сопротивления материала заклепок и листов равны: на срез Rbs = 110 МПа, на смятие Rbр = 310 МПа, коэффициент условий работы соединения γb =0,9.

Ответ: 6 заклепок.

Задача 3.1.6. Определить силу F, которую может воспринять заклепочное соединение, показанное на рис. 3.1.10. Диаметр заклепки d = 2см, толщина листов и накладки δ = 2,2см. Расчетные сопротивления материала листов и заклепок равны: на срез Rbs = = 200 МПа, на смятие Rbр = 500 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,8.

Ответ: F = 50 кН.

Задача 3.1.7. Определить диаметр стального болта, соединяющего три стальных листа (рис. 3.1.11). Растягивающая сила F = 40 кН, толщина среднего листа δ = 10 мм.

Расчетные сопротивления материала болта и листов равны:

 на срез Rbs = 150 МПа;

 на смятие Rbр = 400 МПа; коэффициент условий ра-боты соединения γb  = 0,8.

Ответ: d = 1,5 см.

Задача 3.1.8. Рассчитать количество заклепок диаметром d = 4 мм, необходимое для соединения профилей толщиной 1мм с фасонкой толщиной t = 2 мм (рис. 3.1.12). Сила F = 35 кН, расчетные сопротивления материала заклепок, профилей и косынки (дюралюминий) равны: на срез Rbs = 105 МПа, на смятие Rbр = 300 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,95.

Ответ: 16 заклепок в два ряда по 8 заклепок на каждой полке.

3.1.2. Расчет сварных соединений

 Существует несколько типов сварных соединений. При соединении встык зазор между соединяемыми элементами заполняется наплавленным металлом. Типы сечений стыковых швов в зависимости от толщины соединяемых элементов показаны на рис. 3.1.13. В зависимости от направления действующего усилия F по отношению к шву их подразделяют на прямые и косые (рис. 3.1.14).

 Прочность сварных швов характеризуется их расчетным сопротивлением. В основе расчета прямых стыковых швов лежит условие прочности на растяжение или сжатие:

  (3.1.10)

где lw – расчетная длина сварного шва; t – наименьшая толщина соединяемых элементов; Rwy – расчетное сопротивление сварного соединения на растяжение или сжатие по пределу текучести (иногда берут Rwu – то же – по пределу прочности); γс – коэффициент условий работы ().

Необходимо иметь в виду, что вследствие дефектов сварного шва на его концах, окончательную длину назначают, прибавляя к рассчитанной по формуле (3.1.10) длине по 1 см на каждом конце.

В основе расчета косых стыковых швов лежат:

 – условие прочности на растяжение (сжатие) в направлении, перпендикулярном шву:

 ; (3.1.11)

 – условие прочности на срез в направлении вдоль шва:

 , (3.1.12)

где Rws – расчетное сопротивление сварного соединения на срез.

 Соединение внахлестку выполняется при помощи угловых швов, которые могут быть лобовыми (рис. 3.1.15, а) и фланговыми (рис. 3.1.15, б). При соединении внахлестку расчет угловых швов производится на срез (условный) по двум сечениям (рис. 3.1.16): по металлу шва (сечение 1) и по металлу границы сплавления (сечение 2). При рассмотрении сечения 1 условие прочности записывается в виде

  (3.1.13)

а для сечения 2 в виде

  (3.1.14)

 В этих формулах: lw – расчетная длина шва, принимаемая меньше его полной длины на 1 см; βf и βz – коэффициенты, зависящие от прочности материала свариваемых элементов, вида сварки и принимаемые от 0,7 до 1,15; γwf и γwz – коэффициенты условий работы шва, принимающие значения от 0,85 до 1,0 в зависимости от районов эксплуатации конструкции; Rwf и Rwz – расчетные сопротивления сварных соединений при срезе соответственно по металлу шва и металлу границы сплавления; γс – коэффициент условий работы шва и назначения конструкции (); kf – длина катета сварного шва.

Из двух длин lw, рассчитанных по формулам (3.1.13) и (3.1.14), выбирается наибольшая. Расчетная длина может быть разделена на несколько частей в зависимости от конструктивных особенностей соединения. В таких случаях с учетом непровара к длине каждой части добавляется по 1 см на каждый конец.

Задача 3.1.9. Определить длину флангового сварного шва, необходимую для соединения двумя накладками с двух сторон стальных листов, растягиваемых усилием F = = 500 кН (рис. 3.1.17). Расчетные сопротивления: на срез металла шва Rwf = 180 МПа, металла границы сплавления Rwz = 160 МПа.

Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = γwf =1; γwz = 1; γс = 0,9. Длина катета сварного шва kf = 0,8 см. Зазором   пренебречь.

Решение. Рассчитываем необходимую длину двух фланговых швов с каждой стороны одной накладки, используя формулы (3.1.13) и (3.1.14).

Из условия прочности на срез по металлу шва (3.1.13) получим:

 Из условия прочности на срез на границе сплавления (3.1.14) находим:

Из двух расчетных длин выбираем большую lw = 28 см. Расчетная длина одного шва (с одной стороны накладки) будет lw1 = lw/2 = 14 см. Конструктивная длина одного шва составит lw1 + 2 = 14 + 2 = 16 см.

Задача 3.1.10. Определить длину углового флангового шва, необходимую для прикрепления каждого из двух равнобоких уголков 63×63×6 к фасонке (рис. 3.1.18). Стержень, образованный из этих двух уголков, находится под действием продольной растягивающей силы F = 240 кН. Расчетные сопротивления: на срез металла шва Rwf = 75 МПа, металла границы сплавления Rwz = 100 МПа. Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = 1; γwf = 1; γwz = 1; γс = 0,95. Длина катета сварного шва kf = 0,8 см .

У к а з а н и я. Сила F1 = F/2 приложена в центре тяжести каждого уголка ближе к обушку, поэтому с целью равномерности работы шва по всей длине со стороны обушка обычно наваривают шов длиной l1, составляющей 70% от расчетной длины. Остальные 30% наваривают со стороны пера в виде двух одинаковых кусков – шпонов длиной l2/2.

Ответ: l1 = 30 см, l2 = 16 см.

Задача 3.1.11. Определить величину растягивающего усилия, воспринимаемого прямым сварным швом встык. Толщина листа t =10 мм, ширина b = 10 см. Расчетное сопротивление металла шва Rwy = 170 МПа. Коэффициент условий работы γс = 0,9.

Ответ: F = 190 кН.

Задача 3.1.12. Два листа соединены внахлестку фланговыми швами (рис. 3.1.19) и растягиваются силой F = 252 кН. Рассчитать необходимую длину l шва, если расчетные сопротивления на срез равны: для металла шва Rwf = 80 МПа, металла границы сплавления Rwz = 100 МПа. Поперечные размеры листов в мм указаны на рис. 3.1.19. Длина катета сварного шва kf = 1 см. Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = 1; γwf = 1; γwz = 1; γс = 0,9.

Ответ: l = 23 см.

Задача 3.1.13. Растягивающее усилие F = 400 кН центрально приложено к неравнобокому уголку 150×200×16. Уголок приварен к листу, как показано на рис. 3.1.20.

Требуется определить длины сварных швов l1 и l2, если расчетные сопротивления на срез равны: для металла шва Rwf = 100 МПа, металла границы сплавления Rwz = 120 МПа; длина катета сварного шва kf = 1,6 см. Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = 1,15; γwf = 1; γwz = 1; γс = 0,8.

Ответ: l1 = 23 см; l2 = 6 см.

 Задача 3.1.14. Определить наибольшую растягивающую силу F, которую можно приложить к листам 180×10 мм (рис. 3.1.21), сваренным внахлестку двумя лобовыми швами, если расчетное сопротивление материала листа на растяжение равно Ry = 155 МПа, расчетное сопротивление материала сварного шва на растяжение Rwy = 100 МПа. Коэффициент условий работы соединения γс = 0,9.


Ответ: Fmax = 201,5 кН.

Задача 3.1.15. Проверить прочность косого шва (рис. 3.1.22) по нормальным и касательным напряжениям, если F = 166 кН, Rwy = 100 МПа, Rws = 80 МПа, γс = 0,9. Размеры соединяемых стальных листов (в см) указаны на рис. 3.1.22.

Ответ: шов удовлетворяет условиям прочности.

Прямолинейный отрезок диаграммы соответствует состоянию материала образца, описываемому законом Гука; наклон прямой к оси абсцисс характеризует степень сопротивляемости материала деформированию в упругой стадии, т.е. его жесткость. В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой к оси e определяется величиной Е: . Точка соответствует его пределу пропорциональности , т.е. наибольшему напряжению, до которого материал следует закону Гука, которое определяется как отношение силы, при которой эта пропорциональность еще не нарушается, к начальной площади поперечного сечения образца

.

Ocr0189Ocr0190

Рис.1.10 Рис.1.11

Участок диаграммы до точки отражает состояние материала образца, испытывающего только упругие деформации. Эта точка соответствует пределу упругости. Под пределом упругости понимается такое наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгрузки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0. Численные значения пределов пропорциональности и упругости получаются очень близкими, поэтому при испытаниях часто ограничиваются определением только предела пропорциональности.

Участок диаграммы в окрестности точки - почти горизонтальная прямая (площадка текучести). Это означает, что образец при каком-то значении напряжения способен удлиняться без заметного увеличения нагрузки. Такое состояние материала названо текучестью. При текучести значительно развиваются пластические деформации. При этом у образца повышается температура, изменяются электропроводность и магнитные свойства.

Образование пластической деформации в отдельных кристаллах образца происходит уже в начальной (упругой) стадии испытания. Однако эти деформации настолько малы, что не обнаруживаются обычными приборами для измерения малых деформаций. С увеличением нагрузки пластическая деформация начинает накапливаться в микрообъемах образца, а с наступлением текучести эти очаги пластической деформации, сливаясь, захватывают уже макрообъемы образца металла. Необратимо деформированные области образца оказывают повышенное сопротивление дальнейшему деформированию (материал упрочняется), и поэтому пластические деформации начинают развиваться в зонах, еще не подверженных этим деформациям. В дальнейшем пластическая деформация, переходя от одной зоны к другой, распространяется на весь объем рабочей части образца. Особенно наглядно фронт распространения пластической деформации вдоль образца можно наблюдать при испытании плоских полированных образцов. На поверхности таких образцов в момент возникновения очагов пластической деформации появляются темные наклонные полосы, которые, как правило, с осью образца составляют углы, приблизительно равные 450 (линии Чернова-Людерса). Эти линии представляют собой микроскопические неровности, возникающие вследствие необратимых сдвигов, происходящих в кристаллах под действием наибольших касательных напряжений.

Ордината точки на диаграмме соответствует пределу текучести материала образца. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки и определяется как отношение силы, соответствующей точке к начальной площади поперечного сечения образца

.

Если площадка текучести на диаграмме сильно наклонена к оси абсцисс или не совсем прямолинейна, различают верхний и нижний предел текучести. У материалов, не имеющих на диаграмме явно выраженной площадки текучести (рис.1.11), принимают условный предел текучести , при котором остаточное удлинение образца достигает 0,2%.

Дальнейшее удлинение образца (участок диаграммы , следующий за площадкой текучести) сопровождается возрастанием нагрузки, правда, менее интенсивным, чем на начальном этапе (участок ). Это означает, что образовавшиеся в период текучести материала новые связи усиливаются, материал упрочняется. Указанный участок диаграммы называется зоной упрочнения.

Точка на диаграмме характеризуется наибольшей ординатой, соответствующей пределу прочности, или временного сопротивления, материала , т.е. отношению максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения

.

При этом в каком-то из сечений образца обнаруживается наиболее слабое место, в котором начинают концентрироваться пластические деформации, образуя так называемую шейку. Последующий рост деформации образца происходит лишь в результате удлинения суживающейся шейки (участок диаграммы) и сопровождается постепенным ослаблением сил упругости. Напряжения в сечениях образца несколько снижаются, а в поперечном сечении растущей шейки быстро возрастают, достигая к моменту разрыва наибольшего значения. Сила, соответствующая точке , называется разрушающей , а напряжение – истинным сопротивлением разрыву (истинным пределом прочности), которое равно

,

где - площадь поперечного сечения образца в месте разрыва.


Расчеты на растяжение и сжатие