Задачи по сопротивлению материалов Геометрические характеристики плоских сечений Лабораторные работы по сопротивлению материалов Контрольная работа Определение перемещений при косом изгибе Расчет заклепок на срез

Сопромат Задачи и лабораторные работы

Осевые моменты инерции плоских составных сечений

 Для сложных составных поперечных сечений, не содержащих осей симметрии, предлагается следующий порядок расчета.

 Сначала вычерчивается поперечное сечение. Случайные оси х, у ставим так, чтобы все точки поперечного сечения находились в 1-м квадранте (рис. 2.3.1). Каждому прокатному профилю присваивается порядковый номер. Наносим местные оси координат хi, уi, проходящие через известные центры тяжести i–го профиля. Оси хi, уi параллельны случайным осям х, у соответственно.

 Наносим на рисунок известные размеры сечения, взятые из задания или из соответствующих таблиц сортамента прокатной стали (см. приложение в конце книги).

 Вводим обозначения: хi, уi – абсцисса и ордината центра тяжести соответственно i–го профиля относительно случайных осей х, у; Аi – площадь сечения i–го профиля, – площадь поперечного сечения всего составного сечения; – осевые и центробежные моменты инерции i–го профиля относительно местных осей хi, уi.

 Следуя предложенной методике, выпишем геометрические характеристики для поперечного сечения, изображенного на рис. 2.3.1:

х1 = 25 см; х2 = 43,42 см; х3 = 36,11 см; х4 = 5,32 см;

у1 = 24,8 см; у2 = 12 см; у3 = 4,89 см; у4 = 21,64 см;   


   

 С помощью формул (2.1.7) находим координаты центра тяжести всего поперечного сечения:

 Наносим оси хс, ус, которые проходят через центр тяжести С всего составного поперечного сечения и определяем расстояния между осями хс и хi, а также между осями ус и уi:

 а1 = у1 – ус = 24,8 – 17,5 = 7,3 см; b1 = х1 – хс = 25 – 27,4 = –2,4 см;

 а2 = у2 – ус = 12 – 17,5 = –5,5 см; b2 = х2 – хс = 43,42 – 27,4 = 16,02 см;

а3 = у3 – ус = 4,89 – 17,5 = –12,61 см; b3 = х3 – хс = 36,11 – 27,4 = 8,71 см;

 а4 = у4 – ус = 21,64 – 17,5 = 4,14 см; b4 = х4 – хс = 5,32 – 27,4 = –22,08 см.

 Используя формулы (2.2.5), получаем выражения для вычисления осевых моментов инерции относительно центральных осей хс и ус всего поперечного сечения:

или окончательно:

 

 По формуле (2.2.6) находим значение центробежного момента инерции относительно осей хс, ус:

где, согласно рис. 2.3.1, имеем  так как швеллер и полоса имеют оси симметрии х2 и х1, у1 соответственно.

 Для вычисления для равнополочного уголка предварительно выпишем из таблицы сортамента «Уголки стальные горячекатаные равнополочные» = 2093 см4,= 540 см4,, (рис. 2.3.2, а). Тогда формула (2.2.8) принимает вид:

 Для вычисления для неравнополочного уголка (рис. 2.3.2, б) предварительно выпишем из таблицы сортамента (Раздел IV)

= 238,75 см4, = 784,22 см4, Iuv = 0, Iu = 142 см4, tgα = 0,388

и затем, согласно формуле (2.2.10), получаем:

 Таким образом, формула (2.2.8) для рассматриваемого случая принимает вид:


где tg= 0,388; = –21о12/ (рис. 2.3.2, б), тогда

 Значение центробежного момента  можно вычислить, используя фор-мулу (2.2.6). Для этого рас-смотрим рис. 2.3.2, в. Разобьем уголок на два прямоугольника с

 и

.

 В этом случае по формуле (2.2.6) получаем

 Как видно, результаты очень близки по значениям. Знак у центробежного момента относительно центральных осей уголка можно контролировать по рис. 2.2.7.

 Теперь можно приступить к определению центробежного момента всего составного сечения относительно осей хс, ус:

 Главные оси инерции можно построить, повернув центральные оси хс, ус на угол  (рис. 2.3.1):

 Величины главных моментов инерции определяем по формуле (2.2.11)

 Окончательно получаем, что Imax = 48582 см4, Imin = 13438 см4. Полученные значения удовлетворяют условию (2.2.10):

 Таким образом, определены все геометрические характеристики сложного составного поперечного сечения, показанного на рис.2.3.1.

 Задача 2.3.1. Вычислить главные моменты инерции для составного поперечного сечения, изображенного на рис.2.1.11.

 Ответ: Imax = 5828,4 см4; Imin = Iу = 2301,7 см4.

 Задача 2.3.2. Вычислить главные моменты инерции для составного поперечного сечения, представленного на рис. 2.1.12. Найти положение главных осей инерции.

 Ответ: хс = 11,7 см; ус = 10,83 см; tg2α = 0,4642; α = 12о27/;

 Imax = 3795 см4; Imin = 1981 см4;


Задачи 2.3.3 – 2.3.11. Найти координаты центра тяжести и вычислить главные моменты инерции для составных поперечных сечений, показанных на рис. 2.3.3 – 2.3.11.

Ответ к рис. 2.3.3: хс = 0; ус = 3,8 см;

Ответ к рис. 2.3.4: хс = 0; ус = 7,05 см;

Ответ к рис. 2.3.5: хс = 0; ус = –4,54 см;  

 

Ответ к рис. 2.3.6: хс = 0; ус = 2 см;  


Ответ к рис. 2.3.7: хс = 0; ус = 3,3 см;

Ответ к рис. 2.3.8: хс = 0; ус = 6,6 см;

 Ответ к рис.2.3.9: хс = 0; ус = 0; Ix = 7411 см4; Iy = 622,5 см4.

Ответ к рис. 2.3.10:

хс = 0; ус = –1,3 см;

Imin = 524 см4;

Iy = Imax = 1818 см4.

Ответ к рис. 2.3.11:

хс = ус = 0;

 Ix = 5290 см4;

Iy = 537,6 см4.

 Задача 2.3.12. Вычислить главные моменты инерции поперечного сечения, показанного на рис. 2.1.13. Найти положение главных осей инерции.

 Ответ: хс = 7,74 см4; ус = 6,76 см4; tg2α = 0,5671; Imin = 418,6 см4;

 Imax = 2368,6 см4.

Связи и опорные устройства

Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к которым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и другое.

Основным видом связей в расчетной схеме является шарнирная связь.

Простой шарнир (рис. 1.2) накладывает две связи.

Шарниры

Рис. 1.2

В расчетную схему входит основание, т.е. тело, на котоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной.

Неподвижность расчетной схемы относительно основания обеспечивается опорными связями (опорами).

Все опорные связи условно делятся на три основных типа:

- Подвижная шарнирная опора (рис.1.3, а). Такая опора не препятствует вращению конца бруса и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через ось катка (R).

- Неподвижная шарнирная опора (рис.1.3, б). Такая опора допускает вращение конца бруса, но устраняет поступательное движение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль оси бруса (Н), другая - перпендикулярно к оси бруса (R).

- Жесткая заделка или защемление (рис.1.3, в). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре в общем случае может возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (H и R) и момент защемления (М).

При рассмотрении реального объекта в число внешних сил включаются не только заданные нагрузки, но и реакции связей (опор), дополняющие систему сил до равновесного состояния.

1

Рис. 1.3


Расчеты на растяжение и сжатие