Вычерчивание контуров деталей Аксонометрическая проекция Тени цилиндра Конические сечения

Линии и поверхности Линия – это множество всех последовательных положений движущейся точки.

В технической практике принято рассматривать образование поверхности (как и линии) с позиций кинематики – движения. Поверхность – это множество последовательных положений движущейся линии – образующей.

Поверхности линейчатые неразвертывающиеся Наиболее распространены в этой разновидности поверхностей поверхности Каталана или поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма. Образующие параллельны этой плоскости.

Поверхности нелинейчатые Различают нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида и с образующей постоянного вида.

Поверхности параллельного переноса Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная параллельным переносом образующей линии.

Поверхности винтовые Винтовая поверхность получается винтовым перемещением образующей. Как известно, винтовое перемещение характеризуется вращением вокруг оси и одновременно поступательным движением, параллельным этой оси.

Пересечение плоскости с поверхностью многогранника Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Его вершины являются точками пересечения ребер с заданной плоскостью, а стороны – линиями пересечения граней с секущей плоскостью.

Пересечение прямой линии с поверхностью Общие положения При пересечении прямой линии с поверхностью может получиться одна или несколько точек встречи, которые называются точками входа и выхода.

Взаимное пересечение поверхностей В пересечении поверхностей получаются плоские или пространственные линии, которые рассматриваются как множество точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам.

Способ секущих плоскостей Рассмотрим частный случай – способ вспомогательных ПРОЕЦИРУЮЩИХ плоскостей. Он заключается в следующем: вводится ряд плоскостей частного положения (уровня или проецирующих), пересекающих данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий между собой дает точки, которые будут общими для каждой из данных поверхностей и, следовательно, будут принадлежать искомой линии пересечения.

Пересечение поверхностей Способ концентрических сфер Этот способ применяется в случае, когда оси двух поверхностей вращения пересекаются под некоторым углом и находятся в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций (особенно в том случае, когда на чертеже дана только одна проекция деталей).

Особые случаи пересечения. Теорема Монжа

Разверка поверхностей Под развертыванием следует понимать совмещение всей поверхности тела с плоскостью.

Пример. Построить развертку боковой поверхности эллиптического конуса с круговым основанием

Способ раскатки рекомендуется для построения развертки цилиндрической поверхности, когда ее образующие являются прямыми уровня, то есть параллельными одной из плоскостей проекций.

Способ конусов. Этот способ состоим в замене неразвертывающихся поверхностей такой другой поверхностью, которая составлена из нескольких конических и, следовательно, развертываемых элементов.

Конические сечения

Коническими сечениями называются линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью. К числу этих линий относятся следующие: окружность, двойная прямая, две пересекающиеся прямые, эллипс, парабола, гипербола. Простейшим коническим сечением является точка.

Рассмотрим все виды конических сечений и условия, при которых они получаются, на примере конуса вращения, пересеченного проецирующими плоскостями рис. 141:

1) точка S, когда плоскость пересекает только вершину конуса (рис. 141а);

2) окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. 141б);

3) двойная прямая, когда секущая плоскость является предельной, т. е. касательной к поверхности конуса (рис. 141в);

4) две пересекающиеся прямые, когда секущая плоскость проходит через вершину (рис. );

5) эллипс, когда плоскость пересекает все образующие конуса

и когда она не перпендикулярна его оси (рис. 141а).

Рис. 134

Признак, при котором получится эллипс, может быть выражен еще иначе. Обозначим половину угла при вершине конуса через , а угол наклона секущей плоскости к оси конуса – через . Тогда

 

Для построения фронтальной проекции эллипса вначале отмечаем опорные точки А и В. Отрезок А”В”– фронтальная проекция большой оси эллипса (всей фигуры сечения).

Горизонтальная проекция эллипса строится по фронтальной. Для этого отрезок А”В” делится точкой С” пополам. В точку С”D” спроецируется малая ось эллипса, перпендикулярная к плоскости проекций V.

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (1,2,3), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности соответствующего радиуса, а плоскость  – по горизонтали, перпендикулярной плоскости V.

На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проекциями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.

Натуральная величина эллипса может быть легко построена методом замены плоскостей проекций. Для этого на произвольном расстоянии проведена ось симметрии фигуры сечения (большая ось эллипса), параллельно фронтальному следу проецирующей плоскости , и в обе стороны от нее перпендикулярно отложены величины, взятые с горизонтальной проекции фигуры сечения (так как горизонтальные проекции хорд эллипса, параллельные его малой оси, равны их натуральной величине) (рис. 142).

Рис. 135

6) Парабола, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; в этом случае  угол между плоскостью и осью конуса равен углу  между образующей и осью конуса (рис. 143). Фронтальная проекция параболы сливается со следом 1 секущей плоскости. Для построения горизонтальной проекции параболы проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (1,2), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость  -- по горизонтали, перпендикулярной к плоскости V. В пересечении горизонтальных проекций этих горизонталей с горизонтальными проекциями соответствующих окружностей получаем точки D', E', J', K'. Горизонтальную проекцию A' вершины параболы, а также горизонтальные проекции B' и C' точек, принадлежащих одновременно и окружности основания конуса получаем непосредственно, проводя линии из точек A'' и B'' C'' (рис. 143).

Натуральная величина параболы строится аналогично натуральной величине эллипса (рис. 143).

Рис. 136

Гипербола, когда секущая плоскость параллельна оси конуса (рис. 144). В этом случае угол  равен нулю.

Так как секущая плоскость  - профильная плоскость, фронтальная и горизонтальная плоскости гиперболы являются отрезками прямых. Точки A'' и P'' являются фронтальными проекциями вершин параболы. Их горизонтальные проекции A' P' определяются по линии связи (рис. 144). Промежуточные точки D, E, J, K найдены с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей (1,2).

Для построения натуральной величины гипербола совмещена с плоскостью H путем вращения вокруг хорды BC. Если образующие конуса, которым параллельна плоскость  , ортогонально спроецировать на эту плоскость, то получим асимптоты гиперболы, которые совмещены с горизонтальной плоскостью проекций H (рис. 144).

Рис. 137

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.В чем состоит последовательный ход построения фигуры сечения многогранника плоскостью?

В чем заключается общий прием нахождения точек линии пересечения поверхности вращения плоскостью?

Какие точки линии пересечения называются опорными?

Как строятся проекции промежуточных точек линии пересечения?

При каких условиях получаются в сечении конуса эллипс, парабола, гипербола?

Какие плоскости обычно применяются в качестве вспомогательных при построении фигур плоских сечении?


Лекции по черчению, начертательной геометрии